Resumen de Cálculo Multivariable: Longitud de Arco e Integrales de Línea
Cálculo Multivariable: Longitud de Arco e Integrales de Línea
Introducción
Este material resume conceptos esenciales de cálculo en varias variables relacionados con curvas: longitud de arco, integrales de línea de campos escalares y aplicaciones físicas como masa, centro de masa y momento de inercia para alambres paramétricos. Está pensado para estudiantes que estudian de forma independiente y contiene definiciones, ejemplos resueltos y aplicaciones.
1. Longitud de arco
Definición: Sea $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$ una parametrización simple y regular de clase $C^1$ de una curva $\gamma$. La longitud de arco $\ell(\gamma)$ viene dada por
$$\ell(\gamma)=\int_a^b\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right|,dt.$$
Explicación en partes:
- Parametrización: $\mathbf{r}(t)$ describe los puntos de la curva cuando $t$ varía en $[a,b]$.
- Regularidad: $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$ no debe ser el vector cero en intervalos relevantes.
- Idea intuitiva: aproximamos la curva por poligonales con particiones del intervalo; al refinar la partición la suma de longitudes de segmentos tiende a la integral anterior.
Procedimiento para calcular la longitud
- Dada $\mathbf{r}(t)$, calcule $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$.
- Calcule la norma $\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right|$ (en coordenadas, la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de componentes).
- Integre desde $a$ hasta $b$.
Ejemplo: cicloide
Sea $\mathbf{r}(\theta)=\left(R\theta-R\sin\theta,;R-R\cos\theta\right)$ para $\theta\in[0,2\pi]$.
Calculemos:
$$\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)=\left(R-R\cos\theta,;R\sin\theta\right).$$
La norma es
$$\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)\right|=R\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}=R\sqrt{2(1-\cos\theta)}.$$
Usando la identidad $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$,
$$\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)\right|=2R\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|.$$
En $[0,2\pi]$, $\sin(\theta/2)\ge 0$, luego
$$\ell(\gamma)=\int_0^{2\pi}2R\sin\dfrac{\theta}{2},d\theta.$$
Haciendo el cambio $u=\dfrac{\theta}{2}$ (o integrando directamente):
$$\ell(\gamma)=4R\int_0^{\pi}\sin u,du=4R\left[-\cos u\right]_0^{\pi}=4R[(-\cos\pi)+\cos 0]=4R(1+1)=8R.$$
2. Integral de línea de un campo escalar
Definición: Sea $\gamma$ una curva simple y regular con parametrización $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$ y sea $f:U\subset\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ continua. La integral de línea de $f$ sobre $\gamma$ se define por
$$\int_{\gamma} f,ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right|,dt.$$
Puntos clave:
- $ds$ representa el elemento de longitud de arco.
- La integral mide, por ejemplo, una acumulación de una magnitud escalar a lo largo de la curva (masa, calor, costo, etc.).
- Es invariante bajo reparametrizaciones regulares que preserven la orientación; si se invierte la orientación, la integral de una función escalar con $ds$ no cambia porque $ds$ es positivo.
Ejemplo propuesto
Calcular
$$\int_{\gamma} \sqrt{x^2+y^2},ds$$
donde $\gamma$ es la curva dada por $x^2+y^2+6x=0$ recorrida desde $P=(0,0)$ hasta $Q=(-3,-3)$.
Idea para resolverlo:
- Complete el cuadrado: $x^2+y^2+6x=(x+3)^2+y^2-9$, por lo que la curva es un círculo centrado en $(-3,0)$ de radio $3$.
- Determine la porción del círculo que va de $P$ a $Q$ y use una parametrización circular adecuada: por ejemplo $\mathbf{r}(\theta)=(-3+3\cos\theta,;3\sin\theta)$ con el intervalo de $\theta$ que corresponde al recorrido deseado.
- Calcule $\sqrt{x^2+y^2}=|\mathbf{r}(\theta)|$ en la parametrización y proceda con la integral.
(Esta estrategia guía la resolución paso a paso; el estudiante puede ejecutar los cálculos concretos.)
3. Masa, centro de masa y momento de inercia para alambres
Definición: Si $\rho:\gamma\to\mathbb{R}$ es la densidad lineal de masa sobre una curva $\gamma$ parametrizada por $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$, entonces la masa total es
$$m=\int_{\gamma}\rho,ds=\int_a^b\rho(\mathbf{r}(t))\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right|,dt.$$
De
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Longitud y curvas
Klíčová slova: Cálculo en varias variables
Klíčové pojmy: Longitud de arco: $\ell(\gamma)=\int_a^b\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\right\|\,dt$, Integral de línea escalar: $\int_{\gamma} f\,ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\right\|\,dt$, Parametrizar correctamente y calcular $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$ antes de integrar, Masa lineal: $m=\int_{\gamma}\rho\,ds$ con $\rho(\mathbf{r}(t))\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|$, Centro de masa: $x_i=\dfrac{1}{m}\int_{\gamma} x_i\,\rho\,ds$, usar simetría para simplificar, Momento de inercia: $I_L=\int_{\gamma} r^2\,\rho\,ds$, distancia $r$ a la recta, En ciclos y hélices conviene aprovechar identidades trigonométricas, Al cambiar de variable, cuide los límites y el factor diferencial, Si $\rho$ es constante, el centro de masa es el centroide, Para la cicloide dada, la longitud total es $8R$