Resumen de Cálculo Multivariable: Longitud de Arco e Integrales de Línea

## Introducción Este material resume conceptos esenciales de cálculo en varias variables relacionados con curvas: **longitud de arco**, **integrales de línea de campos escalares** y aplicaciones físicas como **masa**, **centro de masa** y **momento de inercia** para alambres paramétricos. Está pensado para estudiantes que estudian de forma independiente y contiene definiciones, ejemplos resueltos y aplicaciones. ## 1. Longitud de arco > Definición: Sea $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$ una parametrización simple y regular de clase $C^1$ de una curva $\gamma$. La longitud de arco $\ell(\gamma)$ viene dada por $$\ell(\gamma)=\int_a^b\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right\|\,dt.$$ Explicación en partes: - Parametrización: $\mathbf{r}(t)$ describe los puntos de la curva cuando $t$ varía en $[a,b]$. - Regularidad: $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$ no debe ser el vector cero en intervalos relevantes. - Idea intuitiva: aproximamos la curva por poligonales con particiones del intervalo; al refinar la partición la suma de longitudes de segmentos tiende a la integral anterior. ### Procedimiento para calcular la longitud 1. Dada $\mathbf{r}(t)$, calcule $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)$. 2. Calcule la norma $\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right\|$ (en coordenadas, la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de componentes). 3. Integre desde $a$ hasta $b$. ### Ejemplo: cicloide Sea $\mathbf{r}(\theta)=\left(R\theta-R\sin\theta,\;R-R\cos\theta\right)$ para $\theta\in[0,2\pi]$. Calculemos: $$\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)=\left(R-R\cos\theta,\;R\sin\theta\right).$$ La norma es $$\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)\right\|=R\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}=R\sqrt{2(1-\cos\theta)}.$$ Usando la identidad $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$, $$\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{d\theta}(\theta)\right\|=2R\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|.$$ En $[0,2\pi]$, $\sin(\theta/2)\ge 0$, luego $$\ell(\gamma)=\int_0^{2\pi}2R\sin\dfrac{\theta}{2}\,d\theta.$$ Haciendo el cambio $u=\dfrac{\theta}{2}$ (o integrando directamente): $$\ell(\gamma)=4R\int_0^{\pi}\sin u\,du=4R\left[-\cos u\right]_0^{\pi}=4R[(-\cos\pi)+\cos 0]=4R(1+1)=8R.$$ ## 2. Integral de línea de un campo escalar > Definición: Sea $\gamma$ una curva simple y regular con parametrización $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$ y sea $f:U\subset\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ continua. La integral de línea de $f$ sobre $\gamma$ se define por $$\int_{\gamma} f\,ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right\|\,dt.$$ Puntos clave: - $ds$ representa el elemento de longitud de arco. - La integral mide, por ejemplo, una acumulación de una magnitud escalar a lo largo de la curva (masa, calor, costo, etc.). - Es invariante bajo reparametrizaciones regulares que preserven la orientación; si se invierte la orientación, la integral de una función escalar con $ds$ no cambia porque $ds$ es positivo. ### Ejemplo propuesto Calcular $$\int_{\gamma} \sqrt{x^2+y^2}\,ds$$ donde $\gamma$ es la curva dada por $x^2+y^2+6x=0$ recorrida desde $P=(0,0)$ hasta $Q=(-3,-3)$. Idea para resolverlo: - Complete el cuadrado: $x^2+y^2+6x=(x+3)^2+y^2-9$, por lo que la curva es un círculo centrado en $(-3,0)$ de radio $3$. - Determine la porción del círculo que va de $P$ a $Q$ y use una parametrización circular adecuada: por ejemplo $\mathbf{r}(\theta)=(-3+3\cos\theta,\;3\sin\theta)$ con el intervalo de $\theta$ que corresponde al recorrido deseado. - Calcule $\sqrt{x^2+y^2}=\|\mathbf{r}(\theta)\|$ en la parametrización y proceda con la integral. (Esta estrategia guía la resolución paso a paso; el estudiante puede ejecutar los cálculos concretos.) ## 3. Masa, centro de masa y momento de inercia para alambres > Definición: Si $\rho:\gamma\to\mathbb{R}$ es la densidad lineal de masa sobre una curva $\gamma$ parametrizada por $\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^N$, entonces la masa total es $$m=\int_{\gamma}\rho\,ds=\int_a^b\rho(\mathbf{r}(t))\left\|\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\right\|\,dt.$$ > De