Cálculo Multivariable: Longitud de Arco e Integrales de Línea
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Pregunta: ¿Cómo se define la longitud de arco ℓ(γ) de una curva parametrizada r⃗:[a,b]→R^N de clase C^1 y regular?
Respuesta: ℓ(γ)=∫_a^b ||d r⃗/dt (t)|| dt, es decir la integral desde a hasta b de la norma de la derivada de la parametrización.
Pregunta: ¿Qué proceso se usa para justificar la fórmula de la longitud de arco a partir de poligonales?
Respuesta: Se aproximan los puntos r⃗(t_i) por una poligonal P_n(δ) y se toma el límite cuando la malla δ→0: la suma de segmentos ∑||r⃗(t_i)-r⃗(t_{i-1})|| conver
Pregunta: En el ejemplo de la cicloide r⃗(θ)=(Rθ−R sinθ, R−R cosθ), θ∈[0,2π], ¿cuál es la longitud de una cicloide completa?
Respuesta: ℓ(γ)=8R.
Pregunta: Defina la integral de línea de un campo escalar f sobre una curva γ parametrizada por r⃗:[a,b]→R^N.
Respuesta: ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r⃗(t)) ||d r⃗/dt (t)|| dt, donde ds= dℓ(γ)=||d r⃗/dt|| dt.
Pregunta: ¿Depende la integral de línea de un campo escalar de la parametrización elegida de la curva?
Respuesta: No, la integral de línea de un campo escalar no depende de la parametrización regular escogida.
Pregunta: Si ρ(u⃗) es la densidad lineal en una curva γ, ¿cómo se calcula la masa total m del alambre?
Respuesta: m = ∫_γ ρ ds = ∫_a^b ρ(r⃗(t)) ||d r⃗/dt|| dt.
Pregunta: ¿Cómo se obtiene la coordenada x_i del centro de masa de una curva con densidad ρ?
Respuesta: x_i = (1/m) ∫_γ x_i ρ ds, para i=1,…,N, donde m es la masa total.
Pregunta: Dé la expresión del momento de inercia I_L de una curva γ respecto a una recta L.
Respuesta: I_L = ∫_γ r^2 ρ ds, donde r es la distancia del punto x⃗ en γ a la recta L.
Pregunta: ¿Cuál es la expresión del momento polar (respecto al origen) I_0 para una curva con densidad ρ?
Respuesta: I_0 = ∫_γ ||x⃗||^2 ρ ds.
Pregunta: En la observación sobre densidad constante, ¿qué nombre recibe el centro de masa?
Respuesta: Cuando la densidad es constante, el centro de masa se denomina centroide.