Test sobre Cálculo Multivariable: Integrabilidad y Teorema de Fubini

Pregunta 1: Según el Teorema de Fubini, si una función f es integrable sobre un rectángulo R = [a,b] × [c,d] y para todo x ∈ [a,b] la integral de f(x,y) con respecto a y desde c hasta d existe, entonces la integral doble de f sobre R es igual a la integral iterada de la integral de f(x,y) con respecto a y desde c hasta d, y luego con respecto a x desde a hasta b.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El Teorema de Fubini establece que si una función f es integrable sobre un rectángulo R = [a,b] × [c,d] y la integral interna con respecto a y existe para todo x en [a,b], entonces la integral doble de f sobre R es igual a la integral iterada, es decir, ∫∫_R f(x,y) dA = ∫_a^b (∫_c^d f(x,y) dy) dx.

Pregunta 2: ¿El interior de un rectángulo en R2 es un ejemplo de un conjunto de medida cero?

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición, un conjunto tiene medida cero si para cualquier ε > 0, es posible cubrirlo con una colección de rectángulos cerrados cuyas áreas sumen menos de ε. Un rectángulo en R2 con lados de longitud positiva tiene un área positiva. Si tomamos un ε menor que esta área positiva, no será posible cubrir el rectángulo con otros cuya suma de áreas sea menor que dicho ε. Por lo tanto, no cumple la definición de conjunto de medida cero.

Pregunta 3: De acuerdo con el Corolario del Criterio de Integrabilidad, ¿cuál de las siguientes condiciones específicas sobre el conjunto de discontinuidades (D) de una función acotada f, garantiza su integrabilidad sobre un rectángulo R en R^2?

A. D es un conjunto con medida (área) cero.

B. D es una unión finita de gráficas de funciones continuas de una variable.

C. D es un conjunto denso en el rectángulo R.

D. D es un conjunto infinito de puntos que no forman ninguna curva.

Explicación: El Corolario del Criterio de Integrabilidad establece directamente que una función acotada es integrable sobre un rectángulo R en R^2 si es continua salvo en un conjunto de discontinuidades que es una unión finita de gráficas de funciones continuas de una variable. Las otras opciones son incorrectas o representan el criterio general de integrabilidad (medida cero) en lugar de la condición específica del corolario sobre las gráficas.

Pregunta 4: ¿Cuál es la razón principal, según el material de estudio, por la que la función f(x,y) = sin(1/|x|-|y|) para |x| ≠ |y| y 0 para |x| = |y| es integrable en cualquier rectángulo [a,b] × [c,d]?

A. La función es continua en todo el rectángulo.

B. Su conjunto de discontinuidades es un conjunto finito de puntos.

C. El conjunto de sus discontinuidades tiene medida cero porque es la unión de dos gráficas de funciones continuas de una variable.

D. El Teorema de Fubini garantiza su integrabilidad.

Explicación: El material de estudio indica que la función es integrable en cualquier rectángulo [a,b] × [c,d] porque es continua salvo en el conjunto D = {(x,y) ∈ R^2 : |x| = |y|} = {(x,y) ∈ R^2 : y = x} ∪ {(x,y) ∈ R^2 : y = -x}, el cual tiene medida cero al ser una unión de dos gráficas de funciones continuas.

Pregunta 5: ¿La propiedad de linealidad de las integrales dobles establece que la integral de una combinación lineal de funciones no puede separarse en la combinación lineal de las integrales de cada función individualmente?

A. Ano

B. Ne

Explicación: La Proposición 1 de los materiales de estudio indica que si f y g son funciones integrables y α, β son números reales, entonces la integral doble de su combinación lineal es igual a la combinación lineal de sus integrales dobles: ZZ R ( α f ( x , y ) + β g ( x , y )) d A = α ZZ R f ( x , y ) d A + β ZZ R g ( x , y ) d A . Esto demuestra que sí puede separarse.