Integrabilidad y Teorema de Fubini: Guía Completa de Cálculo Multivariable
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Pregunta: ¿Qué significa que un conjunto A en R^2 tenga medida (área) cero?
Respuesta: Que para cualquier ε>0 existe una colección de rectángulos cerrados (R_j) con A⊆⋃_{j=1}^∞ R_j y ∑_{j=1}^∞ Area(R_j)<ε.
Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre 'medida cero' y 'contenido cero'?
Respuesta: Un conjunto tiene contenido cero si en la definición de medida cero la colección de rectángulos se puede tomar finita.
Pregunta: Da tres ejemplos de conjuntos en R^2 que tienen medida cero.
Respuesta: El conjunto vacío; un punto (o un conjunto finito de puntos); el gráfico de una función continua de una variable.
Pregunta: ¿Cómo afecta la unión finita a la medida cero?
Respuesta: La unión finita de conjuntos de medida cero tiene medida cero.
Pregunta: Enunciá el criterio de integrabilidad para una función acotada f en un rectángulo R⊂R^2.
Respuesta: f es integrable sobre R si y solo si el conjunto de discontinuidades de f tiene medida cero.
Pregunta: ¿Qué conclusión se obtiene sobre las funciones continuas respecto a integrabilidad en un rectángulo?
Respuesta: Toda función continua en R (rectángulo) es integrable.
Pregunta: Enunciate el corolario sobre funciones acotadas continuas salvo en un conjunto que es unión finita de gráficas.
Respuesta: Si f es acotada en R y es continua salvo en un conjunto que es unión finita de gráficas de funciones continuas de una variable, entonces f es integrab
Pregunta: Por qué la función f(x,y)=sin(1/(|x|-|y|)) para |x|≠|y| y 0 si |x|=|y| es integrable en cualquier rectángulo [a,b]×[c,d]?
Respuesta: Porque es continua salvo en D={(x,y):|x|=|y|}, que es la unión de las dos gráficas y=x y y=-x, conjunto de medida cero; por tanto f es integrable.
Pregunta: ¿Qué son las integrales iteradas en el contexto de calcular volúmenes mediante secciones transversales?
Respuesta: Son integrales en las que se integra primero respecto a una variable (sección transversal) para obtener un área A(x) o A(y) y luego se integra esa áre
Pregunta: Enunciá el teorema de Fubini tal como aparece en el contenido para f integrable en [a,b]×[c,d].
Respuesta: Si f:[a,b]×[c,d]→R es integrable y para todo x∈[a,b] la integral ∫_c^d f(x,y)dy existe, entonces ∫_a^b(∫_c^d f(x,y)dy)dx existe y ∬_R f(x,y)dA = ∫_a^b