Resumen de Cálculo Multivariable: Integrabilidad y Teorema de Fubini

## Introducción Las **integrales dobles** permiten calcular áreas, volúmenes y cantidades acumuladas sobre regiones del plano. Son la extensión natural de las integrales simples cuando la variable de estudio depende de dos dimensiones, $x$ e $y$. En esta guía aprenderás cómo evaluar integrales iteradas, usar el teorema de Fubini en regiones rectangulares, propiedades básicas y ejemplos prácticos paso a paso. > Definición: Una integral doble sobre un rectángulo $R = \left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$ de una función $f(x,y)$ representa la suma acumulada de $f$ sobre $R$ y se escribe $\iint_{R} f(x,y)\,dA$. ## Conceptos clave desglosados ### 1. Integral doble y integrales iteradas - Si $f$ es continua en $R=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$, entonces la integral doble puede evaluarse como integrales iteradas mediante el **teorema de Fubini**. - Integrales iteradas: primero integra respecto de $x$ y luego de $y$, o viceversa: $$\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y)\,dx \right) dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y)\,dy \right) dx$$ > Definición: El **teorema de Fubini** asegura que para $f$ continua en un rectángulo $R$, el orden de integración se puede cambiar y las integrales iteradas son iguales. ### 2. Propiedades lineales y de orden - Linealidad: para $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y funciones integrables $f,g$, $$\iint_{R} \left(\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\right)\,dA = \alpha\iint_{R} f(x,y)\,dA + \beta\iint_{R} g(x,y)\,dA$$ - Suma en subrectángulos: si $R=R_{1}\cup R_{2}$ y $R_{1},R_{2}$ comparten solo borde, $$\iint_{R} f(x,y)\,dA = \iint_{R_{1}} f(x,y)\,dA + \iint_{R_{2}} f(x,y)\,dA$$ - Orden: si $f\geq 0$ en $R$ entonces $\iint_{R} f(x,y)\,dA \geq 0$. Si $f\geq g$ en $R$ entonces $\iint_{R} f(x,y)\,dA \geq \iint_{R} g(x,y)\,dA$. ### 3. Evaluación paso a paso (estrategia) 1. Identificar la región $R$ y los límites de integración. 2. Decidir el orden de integración conveniente (dependiendo de la función y límites). 3. Integrar la función interior respecto de la primera variable, manteniendo la otra como constante. 4. Integrar la expresión resultante respecto de la segunda variable. 5. Simplificar y obtener el valor numérico. > Definición: Una **integral iterada** es una integral simple aplicada sucesivamente en cada variable, por ejemplo $\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy$. ## Ejemplos trabajados ### Ejemplo 1: Aplicación directa de Fubini Calcular $$\iint_{R} \left(x^{3}y + x\right)\,dA,\quad R = \left[0,1\right]\times\left[0,2\right].$$ Tomando primero $x$ y luego $y$: $$\iint_{R} \left(x^{3}y + x\right)\,dA = \int_{0}^{2} \left(\int_{0}^{1} \left(x^{3}y + x\right)\,dx\right) dy$$ Integrando en $x$: $$\int_{0}^{1} \left(x^{3}y + x\right)\,dx = \left.\left(\frac{x^{4}}{4}y + \frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}y + \frac{1}{2}$$ Integrando en $y$: $$\int_{0}^{2} \left(\frac{1}{4}y + \frac{1}{2}\right) dy = \left.\left(\frac{1}{8}y^{2} + \frac{1}{2}y\right)\right|_{0}^{2} = \frac{1}{8}\cdot 4 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ Cambiando el orden (primero $y$, luego $x$) se obtiene el mismo resultado, lo que confirma la consistencia. ### Ejemplo 2: Evaluar una integral iterada Calcular $$\int_{0}^{3} \left( \int_{-1}^{1-x^{2}} x^{2}y^{2}\,dx \right) dy$$ (Nota: este ejercicio mezcla límites dependientes; revise que los límites correspondan a la variable adecuada antes de integrar). Si los límites fuesen los del ejemplo original enunciado, proceda integrando en el orden indicado y simplificando paso a paso: integre la función interior respecto de $x$ manteniendo $y$ como constante, luego integre en $y$. ### Ejemplo 3: Integral con función trigonométrica Calcular $$\int_{-\pi}^{\pi} \left( \int_{0}^{1} y\cos(xy)\,dx \right) dy$$ Integre primero respecto de $x$: $$\int_{0}^{1} y\cos(xy)\,dx = y\left.\left(\frac{1}{y}\sin(xy)\right)\right|_{0}^{1} = \sin(y)$$ Luego: $$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(y)\,dy = 0$$ porque $\sin(y)$ es un