Resumen de Cálculo Multivariable: Integrabilidad y Teorema de Fubini
Integrabilidad y Teorema de Fubini: Guía Completa de Cálculo Multivariable
Introducción
Las integrales dobles permiten calcular áreas, volúmenes y cantidades acumuladas sobre regiones del plano. Son la extensión natural de las integrales simples cuando la variable de estudio depende de dos dimensiones, $x$ e $y$. En esta guía aprenderás cómo evaluar integrales iteradas, usar el teorema de Fubini en regiones rectangulares, propiedades básicas y ejemplos prácticos paso a paso.
Definición: Una integral doble sobre un rectángulo $R = \left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$ de una función $f(x,y)$ representa la suma acumulada de $f$ sobre $R$ y se escribe $\iint_{R} f(x,y),dA$.
Conceptos clave desglosados
1. Integral doble y integrales iteradas
- Si $f$ es continua en $R=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$, entonces la integral doble puede evaluarse como integrales iteradas mediante el teorema de Fubini.
- Integrales iteradas: primero integra respecto de $x$ y luego de $y$, o viceversa:
$$\iint_{R} f(x,y),dA = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y),dx \right) dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y),dy \right) dx$$
Definición: El teorema de Fubini asegura que para $f$ continua en un rectángulo $R$, el orden de integración se puede cambiar y las integrales iteradas son iguales.
2. Propiedades lineales y de orden
- Linealidad: para $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y funciones integrables $f,g$,
$$\iint_{R} \left(\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\right),dA = \alpha\iint_{R} f(x,y),dA + \beta\iint_{R} g(x,y),dA$$
- Suma en subrectángulos: si $R=R_{1}\cup R_{2}$ y $R_{1},R_{2}$ comparten solo borde,
$$\iint_{R} f(x,y),dA = \iint_{R_{1}} f(x,y),dA + \iint_{R_{2}} f(x,y),dA$$
- Orden: si $f\geq 0$ en $R$ entonces $\iint_{R} f(x,y),dA \geq 0$. Si $f\geq g$ en $R$ entonces $\iint_{R} f(x,y),dA \geq \iint_{R} g(x,y),dA$.
3. Evaluación paso a paso (estrategia)
- Identificar la región $R$ y los límites de integración.
- Decidir el orden de integración conveniente (dependiendo de la función y límites).
- Integrar la función interior respecto de la primera variable, manteniendo la otra como constante.
- Integrar la expresión resultante respecto de la segunda variable.
- Simplificar y obtener el valor numérico.
Definición: Una integral iterada es una integral simple aplicada sucesivamente en cada variable, por ejemplo $\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y),dx\right)dy$.
Ejemplos trabajados
Ejemplo 1: Aplicación directa de Fubini
Calcular
$$\iint_{R} \left(x^{3}y + x\right),dA,\quad R = \left[0,1\right]\times\left[0,2\right].$$
Tomando primero $x$ y luego $y$:
$$\iint_{R} \left(x^{3}y + x\right),dA = \int_{0}^{2} \left(\int_{0}^{1} \left(x^{3}y + x\right),dx\right) dy$$
Integrando en $x$:
$$\int_{0}^{1} \left(x^{3}y + x\right),dx = \left.\left(\frac{x^{4}}{4}y + \frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}y + \frac{1}{2}$$
Integrando en $y$:
$$\int_{0}^{2} \left(\frac{1}{4}y + \frac{1}{2}\right) dy = \left.\left(\frac{1}{8}y^{2} + \frac{1}{2}y\right)\right|_{0}^{2} = \frac{1}{8}\cdot 4 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$
Cambiando el orden (primero $y$, luego $x$) se obtiene el mismo resultado, lo que confirma la consistencia.
Ejemplo 2: Evaluar una integral iterada
Calcular
$$\int_{0}^{3} \left( \int_{-1}^{1-x^{2}} x^{2}y^{2},dx \right) dy$$
(Nota: este ejercicio mezcla límites dependientes; revise que los límites correspondan a la variable adecuada antes de integrar). Si los límites fuesen los del ejemplo original enunciado, proceda integrando en el orden indicado y simplificando paso a paso: integre la función interior respecto de $x$ manteniendo $y$ como constante, luego integre en $y$.
Ejemplo 3: Integral con función trigonométrica
Calcular
$$\int_{-\pi}^{\pi} \left( \int_{0}^{1} y\cos(xy),dx \right) dy$$
Integre primero respecto de $x$:
$$\int_{0}^{1} y\cos(xy),dx = y\left.\left(\frac{1}{y}\sin(xy)\right)\right|_{0}^{1} = \sin(y)$$
Luego:
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(y),dy = 0$$
porque $\sin(y)$ es un
Regístrate para el resumen completo¿Ya tienes cuenta? Iniciar sesión
Integrales dobles - Guía
Klíčová slova: Integrales dobles y criterio de integrabilidad, Integrales dobles
Klíčové pojmy: La integral doble sobre un rectángulo $R$ se puede evaluar como integrales iteradas usando Fubini, Si $f$ es continua en $R$, entonces $\iint_{R} f\,dA = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx$, La integral doble es lineal: $\iint_{R}(\alpha f+\beta g)\,dA=\alpha\iint_{R} f\,dA+\beta\iint_{R} g\,dA$, Si $R=R_{1}\cup R_{2}$ y comparten solo borde, la integral sobre $R$ es suma de integrales sobre $R_{1}$ y $R_{2}$, Si $f\ge 0$ en $R$ entonces $\iint_{R} f\,dA\ge 0$, Aprovecha simetrías pares/impares para simplificar integrales en regiones simétricas, Para elegir orden, busca el que haga más simples las antiderivadas internas, Dibuja la región cuando los límites dependen de la otra variable, Integra término a término cuando la función es suma de partes separables, Verifica unidades y dimensiones en aplicaciones físicas para interpretar correctamente la integral