Test sobre Cálculo Diferencial: Límites, Derivadas y Regla de la Cadena
Cálculo Diferencial: Límites, Derivadas y Regla de la Cadena
Test: Derivadas y funciones exponenciales
20 preguntas
Pregunta 1: Para calcular la derivada de un producto de dos funciones, es correcto simplemente derivar cada función por separado y luego multiplicar sus derivadas.
A. Sí
B. No
Explicación: Los ejercicios propuestos en el material (como f(x) = √x sin x, g(x) = (x^3 + 3x)e^x y h(t) = e^t ln t) implican el uso de la regla del producto para derivadas, que establece que la derivada de un producto de funciones no es simplemente el producto de las derivadas individuales. La regla del producto es una fórmula específica (uv)' = u'v + uv', y no la multiplicación directa de las derivadas.
Pregunta 2: Para f(x) = e^x g(x), donde g(0) = 2 y g'(0) = 5, el valor de f'(0) es 7.
A. Sí
B. No
Explicación: Para calcular f'(x) se usa la regla del producto: f'(x) = (e^x)'g(x) + e^x g'(x). Sabiendo que (e^x)' = e^x, entonces f'(x) = e^x g(x) + e^x g'(x). Evaluando en x = 0: f'(0) = e^0 g(0) + e^0 g'(0) = 1 * g(0) + 1 * g'(0). Sustituyendo los valores dados g(0) = 2 y g'(0) = 5, se tiene f'(0) = 2 + 5 = 7.
Pregunta 3: La derivada de la función y = e^(2x) es 2x * e^(2x - 1).
A. Sí
B. No
Explicación: La derivada de e^x es e^x. Usando la Regla de la Cadena para y = e^(g(x)) donde g(x) = 2x, la derivada es e^(g(x)) * g'(x). Por lo tanto, la derivada de e^(2x) es e^(2x) * (2x)' = e^(2x) * 2 = 2e^(2x).
Pregunta 4: La derivada de la función v(x) = g(f(x)) es v'(x) = f'(g(x)) · g'(x).
A. Sí
B. No
Explicación: Según la Regla de la Cadena, si v(x) = g(f(x)), entonces su derivada es v'(x) = g'(f(x)) · f'(x). La expresión f'(g(x)) · g'(x) corresponde a la derivada de u(x) = f(g(x)).
Pregunta 5: La derivada de la función F(x) = f(e^x), donde f es una función derivable, es F'(x) = f'(e^x) · e^x.
A. Sí
B. No
Explicación: Según la Regla de la Cadena, si F(x) = f(g(x)), entonces F'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Para F(x) = f(e^x), tomamos g(x) = e^x. Sabemos que la derivada de (e^x) es e^x. Por lo tanto, F'(x) = f'(e^x) · (e^x)' = f'(e^x) · e^x.