Resumen de Cálculo Diferencial: Límites, Derivadas y Regla de la Cadena

## Introducción Breve repaso: en este material veremos cómo derivar funciones exponenciales y cómo usar la regla de la cadena cuando aparecen composiciones con exponenciales. Aprenderás definiciones fundamentales, propiedades útiles, ejemplos resueltos y ejercicios aplicados para un estudiante que no asistió a las clases. > **Definición:** El número $e$ se define como $\displaystyle e = \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{1/x}$. ## 1. El número $e$ y límites básicos - A partir de la definición aparecen límites útiles: - $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1 + ax\right)^{1/x} = e^{a}$. - $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e$. - $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^{n} = e^{a}$. - $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x\right)}{x} = 1$. - $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$. - $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$. - $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln(a)$, para $a>0$. > **Definición relacionada:** Para $a>0$, $a^{x} = e^{x\ln(a)}$. Fun fact: El número $e$ aparece en contextos tan diversos como el crecimiento compuesto en finanzas, la probabilidad (por ejemplo, la paradoja del cumpleaños) y en la distribución normal de probabilidad. ## 2. Derivada de una función exponencial ### 2.1 Regla general > **Teorema:** Si $f(x)=a^{x}$ con $a>0$, entonces $$f'(x)=a^{x}\cdot\ln(a).$$ - Caso especial: si $a=e$, entonces $$\left(e^{x}\right)'=e^{x}.$$ ### 2.2 Derivación usando la definición - Ejemplo: derivar $f(x)=e^{2x}$ usando la definición del límite de la derivada. - Usamos $f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h}=\lim_{h\to 0}e^{2x}\dfrac{e^{2h}-1}{h}=e^{2x}\cdot 2$ porque $\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{2h}-1}{h}=2$. - Resultado: $\displaystyle f'(x)=2e^{2x}$. ### 2.3 Tabla comparativa: derivadas de exponenciales | Función | Derivada | |---|---| | $a^{x}$, $a>0$ | $a^{x}\ln(a)$ | | $e^{x}$ | $e^{x}$ | | $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)}\cdot g'(x)$ | | $a^{g(x)}$ | $a^{g(x)}\cdot g'(x)\ln(a)$ | ## 3. Regla de la cadena > **Teorema (Regla de la Cadena):** Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $y=g(x)$, entonces la composición $z=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ es derivable en $x$ y $$\left(f\circ g\right)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$ - Versión diferencial: $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$. ### 3.1 Ejemplos de identificación Identifica $f$ y $g$ en cada caso y aplica la regla de la cadena: 1) $y=\sin(x^{2})$. Aquí $f(u)=\sin(u)$, $g(x)=x^{2}$; $y'=\cos(x^{2})\cdot 2x$. 2) $y=\sin^{2}(x)=\left(\sin(x)\right)^{2}$. Aquí $f(u)=u^{2}$, $g(x)=\sin(x)$; $y'=2\sin(x)\cos(x)$. 3) $y=\dfrac{1}{3x+1}$. Es $f(u)=\dfrac{1}{u}$, $g(x)=3x+1$; $y'=-\dfrac{3}{(3x+1)^{2}}$. 4) $y=\sqrt{3x^{2}-x+1}=\left(3x^{2}-x+1\right)^{1/2}$. Aquí $f(u)=u^{1/2}$, $g(x)=3x^{2}-x+1$; $y'=\dfrac{1}{2}\left(3x^{2}-x+1\right)^{-1/2}\cdot(6x-1)$. Fun fact: ¿Sabías que la regla de la cadena es simplemente la versión formal del sentido común: para medir el cambio de una función que depende de otra, multiplicas las tasas de cambio encadenadas? ## 4. Ejemplos resueltos y ejercicios guiados ### Ejemplo 1: derivadas por álgebra Calcular derivadas usando reglas básicas y exponenciales: - a) $f(x)=x^{2}+3\cos x+5$; $f'(x)=2x-3\sin x$. - b) $g(u)=2e^{4}+\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u^{2}}$; $g'(u)=0-\dfrac{1}{u^{2}}+\dfrac{2}{u^{3}}$. - c) $f(x)=\sqrt{x}\,\sin x=x^{1/2}\sin x$; $f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\sin x + x^{1/2}\cos x$. - d) $g(x)=(x^{3}+3x)e^{x}$; usar producto: $g'(x)=(3x^{2}+3)e^{x}+(x^{3}+3x)e^{x}$. - e) $h(t)=e^{t}\ln t^{2}=e^{t}\cdot 2\ln t$ (si se reescribe $\ln t^{2}=2\ln t$); derivar con producto. ### Ejemplo 2: recta tangente Encontrar la ecuación de la recta tangente a $f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}$ en el punto $(1,e^{2})$. 1) Calcular $f'(x)$ usando cociente o producto con $\left(1+x^{2}\right)^{-1}$. 2) Evaluar $f'(1)$ y luego usar la fórmula de la recta tangente: $$y-y_{0}=f'(x_{0})\left