Test sobre Cálculo Diferencial: Funciones Exponenciales y Regla de la Cadena
Cálculo Diferencial: Funciones Exponenciales y Regla de la Cadena
Test: Cálculo diferencial
20 preguntas
Pregunta 1: La derivada de la función f(x) = a^x puede obtenerse utilizando la regla de la cadena, reescribiendo a^x como e^(ln a * x).
A. Sí
B. No
Explicación: El material de estudio incluye un ejercicio que solicita "use regla de la cadena para obtener d/dx(a^x)" y proporciona la pista "a^x = e^(ln a * x)", lo que confirma que la derivada de a^x se puede obtener mediante la regla de la cadena utilizando esa reescritura.
Pregunta 2: La razón de cambio instantáneo de la función f(x) = sqrt(x) en x = 4 es 1/2.
A. Sí
B. No
Explicación: Los materiales de estudio no proporcionan el procedimiento para calcular la derivada de f(x) = sqrt(x) ni su razón de cambio instantáneo en x = 4. Solo se presenta un ejercicio de razón de cambio para f(x) = sqrt(x)/(x^2 + 4) y ejercicios de cálculo de derivadas para funciones con raíces como y = sqrt(x^2x + 1) y h(x) = sqrt(4 + 3f(x)).
Pregunta 3: La derivada de una función de la forma f(x) = e^x g(x) es siempre f'(x) = e^x g'(x).
A. Sí
B. No
Explicación: Los materiales de estudio no presentan una regla directa para la derivada de f(x) = e^x g(x). El ejercicio provisto en los materiales donde f(x) = e^x g(x) implica el uso de álgebra de derivadas, es decir, la regla del producto, resultando en f'(x) = e^x g(x) + e^x g'(x), no solo e^x g'(x).
Pregunta 4: La derivada de la función y = sin(e^x) es e^x cos(e^x).
A. Sí
B. No
Explicación: Para calcular la derivada de y = sin(e^x) se utiliza la Regla de la Cadena. Sea f(u) = sin(u) y g(x) = e^x. Entonces y = f(g(x)). La derivada de f(u) es f'(u) = cos(u) y la derivada de g(x) es g'(x) = e^x (Corolario (derivada de la exponencial)). Aplicando la Regla de la Cadena, (f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x), obtenemos dy/dx = cos(e^x) · e^x.
Pregunta 5: La derivada de F(x) = f(e^x) es F'(x) = f'(e^x).
A. Sí
B. No
Explicación: Según la Regla de la Cadena, si F(x) = f(g(x)) donde g(x) = e^x, entonces F'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Dado que la derivada de e^x es e^x, la expresión correcta para F'(x) es f'(e^x) · e^x, no simplemente f'(e^x).