Resumen de Cálculo Diferencial: Funciones Exponenciales y Regla de la Cadena

## Introducción El objetivo de este material es revisar conceptos clave de derivadas aplicados a funciones exponenciales y la regla de la cadena. Veremos la definición del número $e$, derivadas de funciones de la forma $a^{x}$ y $e^{x}$, la regla de la cadena y ejercicios prácticos resueltos y propuestos para reforzar la comprensión. > **Definición:** El número $e$ se define como el límite $$e = \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{1/x}$$ ## 1. Propiedades básicas relacionadas con $e$ y logaritmos - De la definición se deducen límites útiles: - $$\lim_{x \to 0} \left(1 + ax\right)^{1/x} = e^{a}$$ - $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e$$ - $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^{n} = e^{a}$$ - $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x\right)}{x} = 1$$ - $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$$ - $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$$ - $$\lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln\left(a\right)$$ > **Definición alternativa:** Para $a>0$ se puede escribir $$a^{x} = e^{x \ln\left(a\right)}$$ ## 2. Derivada de una función exponencial ### Teorema (derivada de $a^{x}$) > Sea $f(x)=a^{x}$ con $a>0$. Entonces > $$f'(x)=a^{x}\,\ln\left(a\right).$$ Corolario especial: > Para $a=e$ se obtiene > $$(e^{x})' = e^{x}.$$ Ejemplo guiado: Derivar $f(x)=e^{2x}$ usando definición 1. Escribimos el límite del cociente diferencial: $$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{e^{2x}e^{2h}-e^{2x}}{h}$$ 2. Factorizamos $e^{2x}$: $$f'(x)=e^{2x}\lim_{h\to 0} \frac{e^{2h}-1}{h}$$ 3. Usamos el límite conocido: $$\lim_{h\to 0} \frac{e^{2h}-1}{h}=2$$ 4. Resultado: $$f'(x)=2e^{2x}.$$ ## 3. Regla de la cadena > **Teorema (Regla de la Cadena):** Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $y=g(x)$, entonces la composición $z=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ es derivable y > $$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$ Interpretación práctica: - Para derivar una composición, se deriva la función externa evaluada en la interna y se multiplica por la derivada de la interna. Ejemplos de identificación y derivación 1. $y=\sin\left(x^{2}\right)$: externa $f(u)=\sin(u)$, interna $g(x)=x^{2}$, por lo tanto $$y'=\cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x.$$ 2. $y=\sin^{2}(x)$ (interpretar como $(\sin x)^{2}$): externa $f(u)=u^{2}$, interna $g(x)=\sin x$, entonces $$y'=2\sin x\cdot \cos x = \sin(2x).$$ 3. $y=\dfrac{1}{3x+1}$: externa $f(u)=u^{-1}$, interna $g(x)=3x+1$, entonces $$y'=-1\cdot (3x+1)^{-2}\cdot 3 = -\dfrac{3}{(3x+1)^{2}}.$$ 4. $y=\sqrt{3x^{2}-x+1}$: externa $f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}$, interna $g(x)=3x^{2}-x+1$, entonces $$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{3x^{2}-x+1}}\cdot (6x-1).$$ ## 4. Técnicas y atajos útiles - Para $a^{x}$ usar la forma $e^{x\ln a}$ y la regla de la cadena: si $h(x)=a^{g(x)}$ entonces $$h'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\cdot g'(x).$$ - Para $F(x)=f(e^{x})$: $$F'(x)=f'(e^{x})\cdot e^{x}.$$ - Para $G(x)=e^{f(x)}$: $$G'(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x).$$ Tabla comparativa: derivadas de exponenciales | Función | Derivada | |---|---| | $a^{x}$ | $a^{x}\ln(a)$ | | $e^{x}$ | $e^{x}$ | | $a^{g(x)}$ | $a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)$ | | $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)}\,g'(x)$ | ## 5. Ejercicios resueltos y propuestos Ejercicio resuelto 1 (del enunciado): calcular derivada de $f(x)=e^{2x}$ usando definición — resultado ya mostrado: $$f'(x)=2e^{2x}.$$ Ejercicios propuestos (practique y compare con la regla de la cadena y álgebra de derivadas): 1. Use álgebra de derivadas para calcular: a) $f(x)=x^{2}+3\cos x+5$ b) $g(u)=2e^{4}+\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u^{2}}$ c) $f(x)=\sqrt{x}\sin x$ d) $g(x)=(x^{3}+3x)e^{x}$ e) $h(t)=e^{t}\ln t^{2}$ 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}$ en el punto $(1,e^{2})$. 3. Si $f(x)=e^{x}g(x)$ con $g(0)=2$, $g'(0)=5$, determine $f'(0)$. 4. Calcule las derivadas: a) $y=e^{3x^{2}+x}$ b) $y=\cos\left(a^{3}+x^{3}\right)$ c) $y=\sin\left(e^{x}\right)$ d) $y=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{x+1}}$ 5. Sea $F=f(e^{x})$ y $G=e^{f(x)}