Resumen de Aritmética Fundamental: Operaciones y Divisibilidad

## Introducción Los conceptos de **múltiplos** y **divisores** son básicos en aritmética y aparecen en muchas situaciones prácticas: repartir objetos, analizar calendarios, trabajar con medidas y con números primos. En este material encontrarás definiciones claras, ejemplos paso a paso, criterios de divisibilidad útiles y comparaciones que facilitan el aprendizaje. > **Definición:** Un **múltiplo** de un número natural $a$ es cualquier número que puede expresarse como $a\cdot k$ con $k$ natural. Un **divisor** de un número natural $n$ es cualquier número natural $d$ tal que $n:d$ es una división exacta (es decir, $n = d\cdot q$ para algún natural $q$). ## Múltiplos ### ¿Qué son? (descomposición por partes) - Multiplica un número por los sucesivos naturales: $a\cdot 0$, $a\cdot 1$, $a\cdot 2$, $a\cdot 3$, ... - Los múltiplos forman una sucesión infinita salvo en casos con $0$. > **Definición:** Los **múltiplos** de $a$ son los números $a\cdot k$ con $k\in\mathbb{N}$. ### Ejemplo práctico Los primeros cinco múltiplos de $3$: $$3\cdot 0 = 0$$ $$3\cdot 1 = 3$$ $$3\cdot 2 = 6$$ $$3\cdot 3 = 9$$ $$3\cdot 4 = 12$$ Lista: $0$, $3$, $6$, $9$, $12$. ### Propiedades importantes - Todo número es múltiplo de sí mismo porque $a\cdot 1 = a$. - Los números naturales distintos de $0$ tienen infinitos múltiplos. - El $0$ sólo produce el múltiplo $0$ cuando se multiplica: $0\cdot k = 0$ para todo $k$. - El $0$ es múltiplo de todos los números porque $n\cdot 0 = 0$ para todo $n$. - Todos los números son múltiplos de $1$ porque $1\cdot k = k$. ### Aplicaciones reales - Calendario: los múltiplos de $7$ determinan los días de la semana (cada 7 días se repite el mismo día). - Reparto: si tienes paquetes de 6 unidades, los múltiplos de $6$ indican cantidades completas sin sobrantes. Did you know que los múltiplos permiten encontrar números comunes para sincronizar ciclos, como los intervalos de semáforos o la programación de tareas repetitivas? ## Divisores ### ¿Qué son? (descomposición por partes) - Un divisor de $n$ es un número $d$ tal que $n = d\cdot q$ con $q\in\mathbb{N}$. - Encontrar divisores suele hacerse probando divisiones exactas por sucesivos naturales hasta la raíz cuadrada de $n$ para optimizar. > **Definición:** Los **divisores** de $n$ son los números $d$ con $d\in\mathbb{N}$ tales que existe $q\in\mathbb{N}$ y $n = d\cdot q$. ### Ejemplo práctico Divisores de $20$: $$20:1 = 20$$ $$20:2 = 10$$ $$20:4 = 5$$ $$20:5 = 4$$ $$20:10 = 2$$ $$20:20 = 1$$ Divisores: $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$ (seis divisores). ### Propiedades importantes - Todo número es divisor de sí mismo porque $a:a = 1$. - Los números naturales tienen un número finito de divisores (salvo $0$). - El $0$ tiene infinitos divisores ya que $0:d = 0$ para todo $d\neq 0$; sin embargo, $0$ no divide a ningún número distinto porque la división por $0$ no está definida. - El $1$ tiene sólo el divisor $1$, pero $1$ es divisor de todos los naturales. ### Ejemplos adicionales - Divisores de $6$: $1$, $2$, $3$, $6$ (cuatro divisores). - Divisores de $13$: $1$, $13$ (dos divisores) — por eso $13$ es primo. Did you know que un número primo es aquel que tiene exactamente dos divisores: $1$ y él mismo? ## Criterios de divisibilidad (reglas prácticas) Las reglas permiten decidir si un número es divisible por otro sin hacer la división completa. Tabla resumen de criterios comunes: | Divisible por | Criterio breve | |---|---:| | 2 | El número termina en $0$, $2$, $4$, $6$, $8$. | | 3 | La suma de las cifras es múltiplo de $3$. | | 4 | Las dos últimas cifras forman un número divisible por $4$. | | 5 | Termina en $0$ o $5$. | | 6 | Es divisible por $2$ y por $3$. | | 7 | Comprobar restando $2$ veces la última cifra al resto (método práctico) o realizar la división (no hay regla simple corta). | | 8 | Las tres últimas cifras forman un número divisible por $8$. | | 9 | La suma de las cifras es múltiplo de $9$. | | 10 | Termina en $0$. | | 11 | La diferencia entre la suma de cif