Resumen de Álgebra de Polinomios: Ejercicios Fundamentales

## Introducción Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por sumas de términos de la forma $a x^{n}$, donde $a$ es un coeficiente y $n$ un entero no negativo. En álgebra elemental los polinomios son herramientas centrales para modelar situaciones, factorizar expresiones y resolver ecuaciones. Esta guía reúne conceptos clave, técnicas de resolución y ejercicios tipo examen para dominar divisibilidad, restos y búsqueda de raíces. > **Definición:** Un polinomio en la variable $x$ es una expresión de la forma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}$ con $a_{i}\in\mathbb{R}$ y $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. ## Conceptos básicos y notación ### Grado y coeficientes - El **grado** de $P(x)$ es el mayor exponente $n$ con $a_{n}\neq 0$. - El coeficiente líder es $a_{n}$. ### Operaciones elementales - Suma y resta: se combinan coeficientes de potencias iguales. - Producto: multiplicar términos y sumar exponentes. - División polinomial: divide con resto, semejante a la división de enteros. > **Definición:** Decimos que $Q(x)$ divide a $P(x)$ si existe $S(x)$ tal que $P(x)=Q(x)S(x)$ y el resto es cero. ## Teoremas clave ### Teorema del Resto > **Teorema del Resto:** Al dividir $P(x)$ por $(x-c)$, el resto es $P(c)$. Ejemplo práctico: si $P(x)=x^{3}-2x+5$, al dividir por $(x-2)$ el resto es $P(2)=2^{3}-2\cdot2+5=5$. ### Teorema del Factor > **Teorema del Factor:** $(x-c)$ es factor de $P(x)$ si y solo si $P(c)=0$. Usos: permite verificar raíces rápidamente y reducir el grado de un polinomio. ### Divisibilidad por polinomios cuadráticos Si $Q(x)$ es cuadrático irreducible real, para que $Q(x)$ divida a $P(x)$ se requiere que todas las raíces (reales o complejas) de $Q$ sean raíces de $P$. ## Técnicas de cálculo de raíces ### 1) Teorema de raíces racionales > **Proposición:** Si $P(x)$ tiene coeficientes enteros y una raíz racional escrita como $\frac{p}{q}$ en forma irreducible, entonces $p$ divide a $a_{0}$ y $q$ divide a $a_{n}$. Uso práctico: listar candidatos finitos y probar por sustitución o división sintética. ### 2) División sintética (Ruffini) - Método rápido para dividir por $(x-c)$ y obtener el cociente y resto. - Reduce el grado tras confirmar una raíz. Ejemplo: dividir $P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$ por $(x-2)$ con división sintética para obtener cociente y resto. ### 3) Reducción de grado por factores conocidos Si conocemos algunas raíces $r_{1},r_{2},\dots$, dividimos sucesivamente para obtener un polinomio de menor grado y hallar las restantes raíces por factorización, fórmula cuadrática o prueba de racionales. ## Estrategias para problemas con parámetros - Sustituir condiciones dadas (por ejemplo, que $(x-k)$ divide a $P(x)$) y obtener ecuaciones en los parámetros. - Usar el Teorema del Resto: al pedir que el resto sea un número $R$, escribir $P(c)=R$ para la $c$ correspondiente. Ejemplo tipo: Si $P(x)=8kx^{3}-10kx-3$ y se requiere que $(x+k)$ divida a $P$, aplicar el factor $x=-k$ y exigir $P(-k)=0$. ## Ejemplos resueltos y explicados ### Ejemplo 1: Divisibilidad por cuadrático Problema: Sea $P(x)=ax^{4}+bx^{2}+36$ y $Q(x)=x^{2}-\sqrt{3}x-6$. Encontrar $a,b$ tales que $Q(x)$ divide $P(x)$. Idea: hallar raíces de $Q$: $$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{3+24}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{27}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pm3\sqrt{3}}{2}.$$ Luego exigir que ambas raíces anulen $P$, lo que da un sistema en $a,b$. ### Ejemplo 2: Parámetro en resto Problema: $P(x)=8kx^{3}-10kx-3$. i) Encontrar $k$ para que $(x+k)$ divida a $P(x)$. Solución: aplicar Teorema del Resto con $x=-k$: $$P(-k)=8k(-k)^{3}-10k(-k)-3= -8k^{4}+10k^{2}-3=0.$$ Resolver para $k$. ii) Resto al dividir por $(2x+1)$ debe ser $k^{2}$. Como $2x+1=0$ implica $x=-\frac{1}{2}$, imponer $$P\left(-\tfrac{1}{2}\right)=k^{2}.$$ Esa ecuación da valores de $k$. ### Ejemplo 3: Resto por dos lineales Problema: si al dividir $p(x)$ por $(x-3)$ resto $6$ y por $(x-2)$ resto $10$, hallar resto al dividir por $(x-2)(x-3)$. Solución: el resto será un polinomio lineal $R(