Tarjetas de Álgebra de Polinomios: Ejercicios Fundamentales
Álgebra de Polinomios: Ejercicios Fundamentales y Resueltos
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Polinomios y álgebra elemental
11 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: ¿Qué técnicas y teoremas se consideran fundamentales para dominar el estudio de los polinomios en Álgebra I, según la guía?
Respuesta: División polinomial (incluida la división sintética/Ruffini), el Teorema del Resto, el Teorema del Factor y las técnicas para encontrar raíces.
Tarjeta 2
Pregunta: Si un polinomio P(x) es divisible por Q(x)=x^2−√3 x−6, qué tipo de condiciones deberías imponer sobre los coeficientes de P(x)=a x^4 + b x^2 + 36 para
Respuesta: Imponer que las raíces de Q(x) sean también raíces de P(x), es decir evaluar P en las raíces de Q (o realizar la división) y exigir resto cero, obteni
Tarjeta 3
Pregunta: Para P(x)=8 k x^3 −10 k x −3, ¿qué condición algebraica debe cumplirse para que (x+k) divida a P(x)?
Respuesta: Debe cumplirse P(−k)=0; al sustituir x=−k se obtiene una ecuación en k que determina los valores requeridos.
Tarjeta 4
Pregunta: Para el mismo P(x)=8 k x^3 −10 k x −3, ¿cómo se obtiene la condición para que el resto al dividir por (2x+1) sea k^2?
Respuesta: Evaluar P en la raíz de 2x+1, es decir x=−1/2; el resto es P(−1/2) y debe ser igual a k^2, dando una ecuación en k.
Tarjeta 5
Pregunta: Cómo determinas los valores de k para que al dividir P(x)=x^4+2x^3−3x^2+k^2 x−12k por (x−2) el resto sea 6?
Respuesta: Evaluar P(2) y exigir P(2)=6; eso produce una ecuación en k que se resuelve para k.
Tarjeta 6
Pregunta: Si un polinomio p(x) tiene resto 6 al dividirlo por (x−3) y resto 10 al dividirlo por (x−2), cómo se calcula el resto al dividir p(x) por (x−2)(x−3)?
Respuesta: El resto será un polinomio de grado <2, r(x)=Ax+B. Imponer r(3)=6 y r(2)=10 y resolver el sistema para A,B; ese r(x) es el resto buscado.
Tarjeta 7
Pregunta: Dado que x=√5 y x=−√5 son raíces de P(x)=49x^4+14x^3−260x^2−70x+75, qué estrategia seguirías para hallar todas las raíces?
Respuesta: Dividir el polinomio por los factores correspondientes a esas raíces (x−√5)(x+√5)=x^2−5) para reducir grado y factorizar el cociente para encontrar la
Tarjeta 8
Pregunta: Si r(x)=2x^6−2x^5−23x^4+11x^3+73x^2−7x−42 tiene raíces x=3 y x=−2, cómo obtienes las otras cuatro raíces?
Respuesta: Dividir r(x) por (x−3)(x+2) para reducir el grado a 4 y luego factorizar o aplicar teoremas (como racionales) al cociente para hallar las demás raíces
Tarjeta 9
Pregunta: Qué condiciones en a y b deben cumplirse para que x=1 y x=−1 sean raíces de P(x)=a x^4 + 13 b x^3 − b x^2 − 13 x + 6?
Respuesta: Evaluar P(1)=0 y P(−1)=0 produce dos ecuaciones lineales en a y b; resolver ese sistema da los valores de a y b.
Tarjeta 10
Pregunta: Tras hallar a y b anteriores, cómo usar esos valores para factorizar y obtener las raíces del polinomio Q(x)=−15x^4+39x^3−3x^2−39x+18?
Respuesta: Usar la relación entre P y Q (o sustituir a y b encontrados si corresponde) para factorizar Q, posiblemente reconociendo factores simétricos o aplican