Test sobre Álgebra de Polinomios: Divisibilidad y Raíces
Álgebra de Polinomios: Guía Completa de Divisibilidad y Raíces
Test: Polinomios y Álgebra
20 preguntas
Pregunta 1: En el ejercicio 2.c.ii, las raíces del polinomio Q(x) = -15x^4 + 39x^3 - 3x^2 - 39x + 18 son proporcionadas en los materiales de estudio.
A. Sí
B. No
Explicación: Los materiales de estudio presentan el polinomio Q(x) y solicitan "Encuentre todas las raíces del polinomio", pero no proveen las raíces de Q(x) en sí.
Pregunta 2: Para el polinomio P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + k^2x - 12k, el valor de k para que al dividir P(x) por (x - 2) el resto sea 6 es k = 5.
A. Sí
B. No
Explicación: Para encontrar los valores de k, se debe usar el Teorema del Resto, que establece que al dividir P(x) por (x - 2), el resto es P(2). Se nos indica que el resto es 6, por lo tanto P(2) = 6. Sustituyendo x = 2 en P(x): P(2) = (2)^4 + 2(2)^3 - 3(2)^2 + k^2(2) - 12k = 16 + 16 - 12 + 2k^2 - 12k = 20 + 2k^2 - 12k. Igualando a 6: 2k^2 - 12k + 20 = 6, lo que simplifica a 2k^2 - 12k + 14 = 0. Dividiendo por 2, obtenemos k^2 - 6k + 7 = 0. Usando la fórmula cuadrática k = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a: k = [6 ± sqrt((-6)^2 - 4*1*7)] / 2*1 = [6 ± sqrt(36 - 28)] / 2 = [6 ± sqrt(8)] / 2 = [6 ± 2*sqrt(2)] / 2. Así, los valores de k son k = 3 + sqrt(2) y k = 3 - sqrt(2). Por lo tanto, afirmar que k = 5 es incorrecto.
Pregunta 3: En la guía de ejercicios, se incluye un problema que solicita hallar los valores de k para que, al dividir un polinomio P(x) por (2x + 1), el resto de la división sea k².
A. Sí
B. No
Explicación: La sección '1. Divisibilidad y Teorema del Resto', subpunto b) ii), de la guía de ejercicios, plantea: 'Encuentre todos los valores de k para que al dividir P ( x ) por (2 x + 1) el resto sea k 2'.
Pregunta 4: Es útil aplicar el Teorema de raíces racionales para encontrar las raíces del polinomio P(x) = 6x^3 - 13x^2 + x + 2.
A. Sí
B. No
Explicación: Los materiales de estudio aconsejan usar el Teorema de raíces racionales para encontrar las raíces del polinomio P(x) = 6x^3 - 13x^2 + x + 2.
Pregunta 5: Si el polinomio r(x) = 2x^6 - 2x^5 - 23x^4 + 11x^3 + 73x^2 - 7x - 42 tiene como raíces a x = 3 y x = -2, estas son todas las raíces del polinomio.
A. Sí
B. No
Explicación: El polinomio r(x) es de grado 6. Si x = 3 y x = -2 son raíces, el polinomio debe tener otras 4 raíces adicionales, como se pide en el ejercicio 2.b), no siendo estas las únicas dos raíces.