Resumen de Álgebra de Polinomios: Divisibilidad y Raíces

## Introducción Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por sumas de términos de la forma $a x^{n}$, donde $a$ es un coeficiente y $n$ un entero no negativo. En Álgebra I, dominar las operaciones con polinomios, la división polinomial, el Teorema del Resto y el Teorema del Factor, así como técnicas para encontrar raíces, es clave para resolver problemas de mayor complejidad. > Definición: Un polinomio en la variable $x$ es una expresión de la forma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ con $a_{n}\neq 0$ y $n\in\mathbb{N}_{0}$. ## Conceptos básicos y descomposición ### Grado y coeficientes - **Grado**: el mayor exponente $n$ tal que $a_{n}\neq 0$. - **Coeficiente líder**: $a_{n}$. ### Operaciones fundamentales - **Suma/resta**: se combinan coeficientes de igual grado. - **Multiplicación**: producto distributivo término a término. - **División polinomial**: produce cociente y resto, análogo a la división de enteros. > Definición: Al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ existe $C(x)$ y $R(x)$ tales que $P(x)=Q(x)\,C(x)+R(x)$ y $\deg R<\deg Q$. ## Teorema del Resto y Teorema del Factor ### Teorema del Resto Si se divide $P(x)$ por $x-a$, el resto es $P(a)$. - Uso práctico: comprobar rápidamente si $x-a$ divide a $P(x)$ evaluando $P(a)$. ### Teorema del Factor $x-a$ es factor de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. - Por tanto, raíces de $P$ equivalen a factores lineales $x-a$. ## Técnicas para encontrar raíces ### Raíces racionales (Teorema de raíces racionales) - Si $P(x)$ tiene coeficientes enteros y una raíz racional $\frac{p}{q}$ en forma reducida, entonces $p$ divide a $a_{0}$ y $q$ divide a $a_{n}$. ### División sintética (Ruffini) - Método rápido para dividir por $x-a$ y obtener cociente y resto usando sólo los coeficientes. Ejemplo práctico 1: Dividir $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ por $x-3$ usando división sintética. - Coeficientes: $1$, $-2$, $-5$, $6$; usar $a=3$. - Resultado: cociente $x^{2}+x-2$, resto $0$; por tanto $x-3$ es factor. ### Reducción de grado tras hallar raíces - Si se encuentra una raíz $a$, dividir por $x-a$ reduce el grado y simplifica hallar las demás raíces. ## Ejercicios guiados (resolución y estrategias) ### 1. Divisibilidad y Teorema del Resto a) Problema: Sea $P(x)=a x^{4}+b x^{2}+36$ divisible por $Q(x)=x^{2}-\sqrt{3}\,x-6$. Estrategia: - Si $Q$ divide a $P$, entonces las dos raíces de $Q$, digamos $r_{1}$ y $r_{2}$, satisfacen $P(r_{1})=0$ y $P(r_{2})=0$. - Calcular $r_{1},r_{2}$ como soluciones de $$x^{2}-\sqrt{3}\,x-6=0$$ y evaluar $P$ en ellas para obtener un sistema en $a,b$. b) Problema: $P(x)=8kx^{3}-10kx-3$. - (i) Para que $x+k$ divida a $P(x)$ aplicar $P(-k)=0$ y resolver para $k$. - (ii) Resto al dividir por $2x+1$: evaluar $P\left(-\tfrac{1}{2}\right)$; igualarlo a $k^{2}$ y resolver. c) Problema: $P(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+k^{2}x-12k$; resto al dividir por $x-2$ debe ser $6$. - Aplicar $P(2)=6$ y resolver para $k$. d) Problema: Si al dividir $p(x)$ por $x-3$ el resto es $6$ y por $x-2$ el resto es $10$, hallar resto al dividir por $(x-2)(x-3)$. - Estrategia: Buscar $R(x)=ax+b$ tal que $R(3)=6$ y $R(2)=10$. Resolver el sistema para $a,b$. ### 2. Cálculo de raíces a) Problema: $P(x)=49x^{4}+14x^{3}-260x^{2}-70x+75$ sabiendo que $x=\sqrt{5}$ y $x=-\sqrt{5}$ son raíces. - Observación: Si $\pm\sqrt{5}$ son raíces y coeficientes son reales, entonces $x^{2}-5$ divide a $P(x)$. - Dividir $P(x)$ por $x^{2}-5$ para reducir grado y luego factorizar el cociente. b) Problema: $r(x)=2x^{6}-2x^{5}-23x^{4}+11x^{3}+73x^{2}-7x-42$ con raíces $x=3$, $x=-2$. - Dividir sucesivamente por $x-3$ y $x+2$ para obtener polinomio de grado 4 y hallar sus raíces via racionales o factorización. c) Problema: $P(x)=ax^{4}+13bx^{3}-bx^{2}-13x+6$ con $x=1$ y $x=-1$ raíces. - Evaluar $P(1)=0$ y $P(-1)=0$ para obtener dos ecuaciones lineales en $a,b$. - Luego, usando $a,b$ hallados, resolver raíces de $$Q(x)=-15x^{4}+39x^{3}-3x^{2}-39x+18$$ usando teoremas de raíces racionales y divisiones. d) Pro