Test zu Zufallsvariablen und ihre Kenngrößen

Frage 1: Für reelle Zahlen $a$ und $b$ gilt, dass der Erwartungswert einer linearen Transformation $\operatorname{E}(a + bX)$ gleich $a + b\operatorname{E}(X)$ ist.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Studienmaterialien geben an: "Für $a, b \in \mathbb{R}$ ist $\operatorname{E}(a + bX) = a + b\operatorname{E}(X)$." Dies bestätigt die Aussage.

Frage 2: Die Varianz einer stetigen Zufallsvariable X ist definiert als $\operatorname{E}(X) = \sum_{i} x_i W(X = x_i)$.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Varianz einer Zufallsvariable X ist definiert als $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left([X - \operatorname{E}(X)]^2\right)$. Für stetige X ist sie $\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - \operatorname{E}(X)]^2 f(x) \, dx$. Die im Fragestellung genannte Formel ist die Definition des Erwartungswertes für diskrete Zufallsvariablen, nicht der Varianz.

Frage 3: Welche der folgenden Formeln definiert den Erwartungswert E(X) für eine diskrete Zufallsvariable X?

A. $$\\sum_{i} x_i f(x_i)$$

B. $$\\\\int_{-\\\\infty}^{\\\\infty} x f(x) \\\\, dx$$

C. $$\\sum_{i} [x_i - \\operatorname{E}(X)]^2 f(x_i)$$

D. $$0,5x - 0,0625x^2$$

Erklärung: Laut den Studienmaterialien ist der Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen X definiert als $$\sum_{i} x_i f(x_i)$$. Die zweite Option ist die Formel für stetige Zufallsvariablen. Die dritte Option ist die Formel für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen. Die vierte Option ist eine Verteilungsfunktion aus einem Beispiel.

Frage 4: Für das Beispiel der U-Bahnverspätung in Minuten, bei dem die Zufallsvariable X die Verspätung beschreibt und die Dichtefunktion f(x) = 0,5 - 0,125x für 0 ", "explanation": "Die Studie definiert den Erwartungswert E(X) für stetige Zufallsvariablen als $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$. Im Beispiel der U-Bahnverspätung wird dies konkret als $\int_{0}^{4} x (0,5 - 0,125x) \, dx$ berechnet. Nach der Integration ergibt sich das Ergebnis von ungefähr 1,333 Minuten. Option 2 ist der korrekte Wert. Option 0, 1 und 3 sind falsche Werte oder Formulierungen im Kontext des erwarteten Werts.

A. Der Erwartungswert ist 2 Minuten.

B. Es kann eine durchschnittliche Verspätung von etwa 1,333 Minuten erwartet werden.

C. Die erwartete Verspätung liegt bei 0,75 Minuten.

D. Der Erwartungswert ist die Wurzel aus der Varianz.

Erklärung: Laut den Studienmaterialien wird der Erwartungswert (E(X)) für die U-Bahnverspätung durch das Integral $\int_{0}^{4} x (0,5 - 0,125x) \, dx$ berechnet, welches das Ergebnis von ungefähr 1,333 Minuten liefert. Die korrekte Aussage ist daher, dass eine durchschnittliche Verspätung von etwa 1,333 Minuten erwartet werden kann. Die anderen Optionen sind entweder falsche Werte oder beschreiben andere Maßzahlen.

Frage 5: Die Transformation zur Standardisierung einer Zufallsvariable X zu einer neuen Zufallsvariable Z ist gegeben durch die Formel Z = (X - E(X)) / (X).

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Studienmaterialien geben an: 'Die Transformation ist gegeben durch Z = (X - E(X)) / (X).'