Karteikarten zu Zufallsvariablen und ihre Kenngrößen
Zufallsvariablen und Kenngrößen: Dein Statistik-Leitfaden
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Stochastik / Zufallsvariablen
10 Karten
Karte 1
Frage: Wie ist die Dichte f(x) der Zufallsvariable X definiert im Beispiel der U-Bahn-Verspätung (für 0 ≤ x ≤ 4)?
Antwort: f(x) = 0{,}5 - 0{,}125x für 0 ≤ x ≤ 4 (und 0 sonst)
Karte 2
Frage: Wie lautet die Verteilungsfunktion F(x) für die gegebene Dichte (vollständig für alle x)?
Antwort: F(x)=0 für x<0; F(x)=0{,}5x - 0{,}0625x^2 für 0 ≤ x ≤ 4; F(x)=1 für x>4
Karte 3
Frage: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(1 ≤ X ≤ 2) mit der Verteilungsfunktion in diesem Beispiel und wie groß ist sie?
Antwort: P(1 ≤ X ≤ 2)=F(2)-F(1)=0{,}75-0{,}4375=0{,}3125
Karte 4
Frage: Wie bestimmt man den Erwartungswert E(X) für stetige Zufallsvariablen allgemein?
Antwort: E(X)=∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx
Karte 5
Frage: Wie berechnet man E(X) konkret für die U-Bahn-Verspätung mit gegebener Dichte und welchen Wert erhält man?
Antwort: E(X)=∫_0^4 x(0{,}5-0{,}125x) dx = [0{,}25 x^2 - (0{,}125/3)x^3]_0^4 ≈ 1{,}333 Minuten
Karte 6
Frage: Wie definiert man E(g(X)) für eine Funktion g und eine stetige Zufallsvariable X?
Antwort: E(g(X)) = ∫_{-∞}^{∞} g(x) f(x) dx
Karte 7
Frage: Wie ist die Varianz Var(X) definiert und wie kann man sie umformen?
Antwort: Var(X)=E[(X - E(X))^2] = ∫_{-∞}^{∞} [x - E(X)]^2 f(x) dx. Umgeformt: Var(X)=E(X^2)-E(X)^2
Karte 8
Frage: Wie verhält sich die Varianz bei linearen Transformationen a + bX?
Antwort: Var(a + bX) = b^2 Var(X)
Karte 9
Frage: Wie ist die Standardabweichung σ_X definiert in Bezug auf die Varianz?
Antwort: σ_X = √{Var(X)}
Karte 10
Frage: Welche Rechenregel gilt für den Erwartungswert einer linearen Funktion a + bX?
Antwort: E(a + bX) = a + b E(X)