Zusammenfassung von Zufallsvariablen und ihre Kenngrößen

## Einführung Stetige Zufallsvariablen modellieren Messgrößen, die einen kontinuierlichen Wertebereich haben, z. B. Zeitdauer, Abstand oder Temperatur. In diesem Material betrachten wir Dichtefunktionen, Verteilungsfunktionen, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung und wenden die Konzepte an einem konkreten Beispiel (U-Bahn‑Verspätung) an. > **Definition:** Eine Zufallsvariable $X$ heißt **stetig**, wenn es eine Dichtefunktion $f$ gibt mit $P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ für alle $a<b$. ## Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion ### Dichtefunktion $f$ und Verteilungsfunktion $F$ - Die **Dichtefunktion** $f(x)$ beschreibt die Dichte der Wahrscheinlichkeit pro Einheit. - Die **Verteilungsfunktion** $F(x)$ gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu $x$ an: $$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(v)\,dv$$ > **Definition:** Die Verteilungsfunktion $F$ ist gegeben durch $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(v)\,dv$. ### Beispiel: Gegebene Dichte Für das Beispiel der U-Bahn‑Verspätung sei $$f(x)=\begin{cases}0,5-0,125x &\text{für }0\le x\le 4\\0 &\text{sonst}\end{cases}$$ Berechne $F(x)$ durch Integration auf $[0,x]$ für $0\le x\le 4$: $$F(x)=\int_{0}^{x} \left(0,5-0,125v\right)\,dv=0,5x-0,0625x^{2}$$ Damit gilt insgesamt: $$F(x)=\begin{cases}0 &\text{für }x<0\\0,5x-0,0625x^{2} &\text{für }0\le x\le 4\\1 &\text{für }x>4\end{cases}$$ Beispielrechnung einer Wahrscheinlichkeit: $$P(1\le X\le 2)=F(2)-F(1)=0,75-0,4375=0,3125$$ ## Erwartungswert (Erwartung) > **Definition:** Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable $X$ ist $\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$. ### Rechnung für das Beispiel $$\operatorname{E}(X)=\int_{0}^{4} x\left(0,5-0,125x\right)\,dx$$ Berechnungsschritte: $$\operatorname{E}(X)=\left[\frac{0,5}{2}x^{2}-\frac{0,125}{3}x^{3}\right]_{0}^{4}$$ $$\operatorname{E}(X)=\frac{0,5}{2}\cdot 4^{2}-\frac{0,125}{3}\cdot 4^{3}=\frac{0,5}{2}\cdot 16-\frac{0,125}{3}\cdot 64$$ $$\operatorname{E}(X)=4-\frac{8}{3}\approx 1,333\text{ Minuten}$$ Praktische Interpretation: Im Mittel ist mit etwa $1{,}33$ Minuten Verspätung zu rechnen. ## Erwartungswert von Funktionen > **Definition:** Für eine Funktion $g$ gilt $\operatorname{E}(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x)\,dx$. Wichtige Fälle: $g(X)=a+bX$, $g(X)=X^{2}$, $g(X)=(X-a)^{2}$. ## Varianz und Standardabweichung > **Definition:** Die Varianz ist $\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}\bigl((X-\operatorname{E}(X))^{2}\bigr)$. Alternative Formel: $$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^{2})-\operatorname{E}(X)^{2}$$ Für $a,b\in\mathbb{R}$ gilt $\operatorname{Var}(a+bX)=b^{2}\operatorname{Var}(X)$. Die Standardabweichung ist $$\sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$$ ### Rechnung der Varianz für das Beispiel Zuerst $\operatorname{E}(X^{2})$ berechnen: $$\operatorname{E}(X^{2})=\int_{0}^{4} x^{2}\left(0,5-0,125x\right)\,dx$$ Schreibe das Integral aus und berechne (Schritte weggelassen, Übung): $$\operatorname{E}(X^{2})=\left[\frac{0,5}{3}x^{3}-\frac{0,125}{4}x^{4}\right]_{0}^{4}=\frac{0,5}{3}\cdot 64-\frac{0,125}{4}\cdot 256$$ $$\operatorname{E}(X^{2})=\frac{32}{3}-8=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667$$ Dann $$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^{2})-\operatorname{E}(X)^{2}=\frac{8}{3}-\left(\frac{4-\tfrac{8}{3}}{1}\right)^{2}$$ Einsetzen des vorherigen Ergebnisses $\operatorname{E}(X)=\tfrac{4-\tfrac{8}{3}}{1}=\tfrac{4}{1}-\tfrac{8}{3}=\tfrac{12-8}{3}=\tfrac{4}{3}$ führt zu $$\operatorname{Var}(X)=\frac{8}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}-\frac{16}{9}=\frac{24-16}{9}=\frac{8}{9}\approx 0{,}8889$$ Die Standardabweichung ist $$\sigma_{X}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}9428\text{ Minuten}$$ ## Vergleichstabelle: Erwartungswert vs. Varianz | Merkmal | Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ | Varianz $\operatorname{Var}(X)$ | |---|---:|---:| | Bedeutung | Lage bzw. Zentrum der Verteilung | Streuung um den Erwartungswert | | Einheit | gleiche Einheit wie $X$ | Quadrierte Einheit von $