Zusammenfassung von Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

## Einführung Die Vorlesung "Theoretische stetige Verteilungen" behandelt mehrere wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in Statistik und angewandten Wissenschaften häufig vorkommen. In diesem Material konzentrieren wir uns auf die **Chi-Quadrat-Verteilung** und die **Student-t-Verteilung**. Beide Verteilungen entstehen aus Standardnormalverteilten Zufallsvariablen und sind zentral für Inferenzverfahren, insbesondere bei kleinen Stichproben und bei Tests über Varianzen. > **Definition:** Eine *stetige Verteilung* ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Intervall, die durch eine Dichtefunktion $f(x)$ beschrieben wird, sodass $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$. ## Chi-Quadrat-Verteilung ### Entstehung und Definition - Annahme: $Z_1,\ldots,Z_{\nu}$ sind unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen. - Betrachtete Zufallsvariable: $$ \chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_{\nu}^2 $$ > **Definition:** Eine Zufallsvariable $\chi^2$ ist **chi-quadrat-verteilt** mit $\nu$ Freiheitsgraden, wenn sie als Summe von Quadraten unabhängiger $N(0,1)$-Variablen dargestellt werden kann. ### Dichte und Verteilungsfunktion - Dichtefunktion: $$ f_{\mathrm{Ch}}(x\,/\,\nu) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\nu/2}\Gamma\left(\dfrac{\nu}{2}\right)}\,\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{2}}\,x^{\dfrac{\nu}{2}-1} &\text{für } x\ge 0 \\ 0 &\text{sonst} \end{cases} $$ - Verteilungsfunktion: $$ F_{\mathrm{Ch}}(x\,/\,\nu) = \dfrac{1}{2^{\nu/2}\Gamma\left(\dfrac{\nu}{2}\right)}\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\dfrac{t}{2}}\,t^{\dfrac{\nu}{2}-1}\,dt $$ ### Eigenschaften - Parameter: $\nu \in \mathbb{N}$ (Freiheitsgrade) - Wertebereich: $x\in [0,\infty)$ - Erwartungswert: $\mathrm{E}(\chi^2)=\nu$ - Varianz: $\operatorname{Var}(\chi^2)=2\nu$ ### Anwendungen und Beispiele - Tests über Varianzen: Chi-Quadrat-Verteilung wird zur Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Varianz einer Normalverteilung verwendet. - Anpassungstests: Stichprobenstatistiken für Häufigkeitsdaten nutzen Chi-Quadrat-Anpassungstests (bei großen Stichproben und kategorialen Daten). Beispiel (Konfidenzintervall für Varianz): 1. Gegeben: Stichprobe der Größe $n$ aus $N(\mu,\sigma^2)$ mit Stichprobenvarianz $s^2$. 2. Dann gilt: $$ \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} $$ 3. Für ein zweiseitiges $100(1-\alpha)\%$-Konfidenzintervall für $\sigma^2$ benutze die Quantile $\chi^2_{\alpha/2,n-1}$ und $\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}$: $$ P\left( \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}} \le \sigma^2 \le \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \right) = 1-\alpha $$ Fun fact: Die Chi-Quadrat-Verteilung mit geradem Freiheitsgrad $\nu$ lässt sich als Gammaprozess mit Formparameter $\dfrac{\nu}{2}$ und Skalenparameter $2$ darstellen. ## Student-t-Verteilung ### Entstehung und Definition - Annahmen: $Z\sim N(0,1)$ und $U\sim\chi^2_{\nu}$ unabhängig. - Betrachtete Zufallsvariable: $$ T = \dfrac{Z}{\sqrt{U/\nu}} $$ > **Definition:** Eine Zufallsvariable $T$ ist **student-t-verteilt** mit $\nu$ Freiheitsgraden, wenn sie die obige Form hat. ### Dichte und Verteilungsfunktion - Dichtefunktion: $$ f_{\mathrm{S}}(t\,/\,\nu) = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\dfrac{\nu}{2}\right)}\left(1+\dfrac{t^2}{\nu}\right)^{-\dfrac{\nu+1}{2}} $$ - Verteilungsfunktion: $$ F_{\mathrm{S}}(t\,/\,\nu) = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\dfrac{\nu}{2}\right)}\int_{-\infty}^{t} \left(1+\dfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\dfrac{\nu+1}{2}}\,dx $$ ### Eigenschaften - Parameter: $\nu \in \mathbb{N}$ - Wertebereich: $t\in (-\infty,\infty)$ - Erwartungswert: $\mathrm{E}(T)=0$ für $\nu>1$ - Varianz: $\operatorname{Var}(T)=\dfrac{\nu}{\nu-2}$ für $\nu>2$, ansonsten unendlich ### Anwendungen und Beispiele - Hypothesentests für Mittelwerte bei unbekannter Varianz: Der t-Test für den Mittelwert verwendet die Student-t-Verteilung. - Kleine Stichproben: Für $n$ klein und unbekannter Varianz ist die t-Verteilung geeigneter als die Normalverteilung. Beispiel