Karteikarten zu Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Normal-, Chi-Quadrat- & t-Verteilung
Tippen zum Umdrehen · Wischen zur Navigation
Theoretische stetige Verteilungen
13 Karten
Karte 1
Frage: Was sind die Voraussetzungen für die Chi-Quadrat-Verteilung hinsichtlich der zugrundeliegenden Zufallsvariablen?
Antwort: Es müssen unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen Z1,…,Zν vorliegen.
Karte 2
Frage: Wie wird die Chi-Quadrat-Zufallsvariable aus standardnormalverteilten Variablen definiert?
Antwort: χ² = Z1² + Z2² + … + Zν² (Summe der Quadrate von ν unabhängigen Standardnormalvariablen).
Karte 3
Frage: Welche Parameter hat die Chi-Quadrat-Verteilung und welcher Wertebereich gilt für χ²?
Antwort: Parameter: ν ∈ ℕ (Freiheitsgrade). Wertebereich: χ² ∈ [0, ∞).
Karte 4
Frage: Wie lautet die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung (Formelform, keine Herleitung)?
Antwort: f_Ch(χ²/ν) = { 1/(2^{ν/2} Γ(ν/2)) e^{−χ²/2} (χ²)^{−(ν/2)−1} für χ² ≥ 0; sonst 0 }.
Karte 5
Frage: Wie ist die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung dargestellt (Integralform)?
Antwort: F_Ch(χ²/ν) = 1/(2^{ν/2} Γ(ν/2)) ∫_0^{χ²} e^{−x/2} x^{−(ν/2)−1} dx.
Karte 6
Frage: Wie lauten Erwartungswert und Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung?
Antwort: E(χ²) = ν, Var(χ²) = 2ν.
Karte 7
Frage: Welche Annahmen werden für die Konstruktion der Student-t-Verteilung getroffen?
Antwort: Es wird angenommen, Z sei standardnormalverteilt und U sei χ²-verteilt mit ν Freiheitsgraden, wobei Z und U unabhängig sind.
Karte 8
Frage: Wie wird die Student-t-Zufallsvariable T definiert?
Antwort: T = Z / sqrt(U/ν) (Standardnormalvariable geteilt durch die Wurzel der normierten χ²-Variablen).
Karte 9
Frage: Wie lautet die Dichtefunktion der Student-t-Verteilung (formelmäßig)?
Antwort: f_S(t/ν) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) · (1 + t²/ν)^{−(ν+1)/2}.
Karte 10
Frage: Welche Parameter und welchen Wertebereich hat die Student-t-Verteilung?
Antwort: Parameter: ν ∈ ℕ (Freiheitsgrade). Wertebereich: t ∈ (−∞, ∞).