Test zu Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Frage 1: Für eine stetige Gleichverteilung der Wartezeit auf einem Intervall von 0 bis 5 Minuten beträgt das 0,5-Quantil 3 Minuten.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Für eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 5] wird das 0,5-Quantil (Median) durch die Berechnung $x_{0,5} = \min_{x} \frac{x - 0}{5 - 0} \geqslant 0,5 \Rightarrow \min_{x} x \geqslant 2,5$ ermittelt, was zu einem Wert von 2,5 Minuten führt. Daher ist die Aussage, dass das 0,5-Quantil 3 Minuten beträgt, falsch.

Frage 2: Die Varianz einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] wird durch die Formel \(\frac{(b - a)^2}{12}\) gegeben.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Laut den Studienmaterialien beträgt die Varianz \(\mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12}\) für eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b].

Frage 3: Welche der folgenden Aussagen über die Eigenschaften einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X sind korrekt?

A. Der Parameter \(\lambda\) kann eine beliebige reelle Zahl sein.

B. Der Wertebereich der Zufallsvariablen \(X\) ist \([0, \infty)\).

C. Der Erwartungswert \(E(X)\) ist gleich \(\lambda\).

D. Die Varianz \(Var(X)\) ist gleich \(\frac{1}{\lambda^2}\).

Erklärung: Gemäß den Studienmaterialien muss der Parameter \(\lambda \in \mathbb{R}_{+} \setminus \{0\}\) sein, nicht eine beliebige reelle Zahl. Daher ist Option 0 falsch. Der Wertebereich für \(x\) ist \([0, \infty)\), was Option 1 korrekt macht. Der Erwartungswert \(E(X)\) ist \(\frac{1}{\lambda}\), nicht \(\lambda\). Daher ist Option 2 falsch. Die Varianz \(Var(X)\) ist \(\frac{1}{\lambda^2}\), was Option 3 korrekt macht.

Frage 4: Welche Aussage trifft auf die Definition eines p-Quantils in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu, basierend auf den bereitgestellten Studienmaterialien?

A. Es gibt die größte Ausprägung $x_p$ an, bei der $F(x_p) < p$ ist.

B. Es gibt die kleinste Ausprägung $x_p$ an, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable kleiner oder gleich $x_p$ ist, $p \cdot 100\%$ beträgt.

C. Es gibt die Ausprägung $x_p$ an, bei der $F(x_p) = p$ ist.

D. Es gibt die kleinste Ausprägung $x_p$ an, so dass $F(x_p) \ge p$.

Erklärung: Die Studienmaterialien definieren ein p-Quantil als die kleinste Ausprägung $x_p$, für die $F(x_p) \ge p$ gilt. Option 1 ist falsch, da es die 'größte Ausprägung' mit einer anderen Ungleichung angibt. Option 2 beschreibt die Fragestellung und korrekt, was das p-Quantil in der Wahrscheinlichkeitsrechnung repräsentiert, was der Definition in Option 4 entspricht. Option 3 ist zu spezifisch, da $F(x_p) \ge p$ eine allgemeinere Bedingung ist als $F(x_p) = p$.

Frage 5: Der Normierungsfaktor der Normalverteilung bewirkt, dass das Integral ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte über den gesamten Wertebereich ungleich 1 ist.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Der Normierungsfaktor der Normalverteilung ist so definiert, dass das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über den gesamten Wertebereich gleich 1 ist ($\int_{-\infty}^{\infty} f_{\mathrm{n}}(x / \mu, \sigma^2) dx = 1$).