Zusammenfassung von Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Grundlagen & Beispiele

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Einführung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen modellieren Zufallsgrößen, deren Wertebereich überabzählbar ist, zum Beispiel Intervalle $[a,b]$ oder ganzes $\mathbb{R}$. Solche Verteilungen beschreiben z.B. Wartezeiten, Längen, Gewichte oder Zeiten zwischen Ereignissen und sind zentral in Statistik, Warteschlangentheorie und Zuverlässigkeitsanalyse.

Definition (stetige Zufallsvariable): Eine Zufallsvariable $X$ ist stetig, wenn es eine Dichtefunktion $f$ gibt, so dass für alle $a<b$ gilt: $$W(a \leqslant X \leqslant b) = \int_{a}^{b} f(x),dx = F(b) - F(a)$$

Wichtige Begriffe kurz

  • Dichtefunktion $f(x)$: Nichtnegativ, integriert zu 1 über den Wertebereich.
  • Verteilungsfunktion $F(x)$: $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t),dt$, liefert Wahrscheinlichkeiten $W(X\leqslant x)$.
  • Erwartungswert: $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x),dx$.
  • Varianz: $\operatorname{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-E(X))^{2} f(x),dx$.

Quantile

Definition (Quantil): Ein $p$-Quantil $x_{p}$ ist die kleinste Ausprägung, sodass $F(x_{p})\geqslant p$.

  • Fragestellung (deskriptiv): Bei welcher Ausprägung sind $p\cdot 100%$ der beobachteten Werte höchstens?
  • Fragestellung (wahrscheinlichkeitsbezogen): Welcher Wert $x_{p}$ erfüllt $P(X\leqslant x_{p})=p$ (bzw. $\geqslant p$ für Definition des kleinsten solchen Werts)?

Wichtige stetige Verteilungen (mit Beispielen)

Im Folgenden zwei zentrale Verteilungen aus dem bereitgestellten Material: die stetige Gleichverteilung und die Exponentialverteilung. (Hinweis: Informationen zur Normalverteilung sind ausgeschlossen.)

1) Stetige Gleichverteilung (Uniformverteilung)

Definition: $X$ ist gleichverteilt auf $[a,b]$, wenn $$f_{G}(x,/,a;b)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{für } x\in[a,b]\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Eigenschaften:

  • Parameter: $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$.
  • Verteilungsfunktion: $$F_{G}(x,/,a;b)=\begin{cases}0 &\text{für } x<a\ \dfrac{x-a}{b-a} &\text{für } x\in[a,b]\ 1 &\text{für } x>b \end{cases}$$
  • Erwartungswert: $$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$$
  • Varianz: $$\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$$

Beispiel (Buswartezeit):

  • Angenommen der Bus kommt alle 5 Minuten, wir wissen nur, dass die Wartezeit gleichverteilt auf $[0,5]$ ist.
  • Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 3 Minuten warten: $$W(X\leqslant 3)=F_{G}(3,/,0;5)=\dfrac{3-0}{5-0}=0.6$$
  • Median (50%-Quantil): $$x_{0.5}=\dfrac{0+5}{2}=2.5$$

Anwendung:

  • Gleichverteilung eignet sich, wenn alle Werte im Intervall als gleich wahrscheinlich angenommen werden, z.B. zufälliges Ankunftszeitfenster ohne Struktur.
💡 Věděli jste?Fun fact: Wusstest du, dass die Gleichverteilung auf $[a,b]$ die maximale Entropie unter allen Verteilungen mit vorgegebenem kompakten Träger ist? (Sie ist insofern die "am wenigsten informierte" Verteilung, wenn nur das Intervall bekannt ist.)

2) Exponentialverteilung

Definition: $X$ ist exponentialverteilt mit Parameter $\lambda>0$, wenn $$f_{E}(x,/,\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &\text{für } x\geqslant 0\ 0 &\text{sonst} \end{cases}$$

Eigenschaften:

  • Parameter: $\lambda\in\mathbb{R}_{+}\setminus{0}$.
  • Verteilungsfunktion: $$F_{E}(x,/,\lambda)=\begin{cases}0 &\text{für } x<0\ 1-e^{-\lambda x} &\text{für } x\geqslant 0 \end{cases}$$
  • Erwartungswert: $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$
  • Varianz: $$\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}$$

Herleitung aus Poisson-Prozess (Anwendungsbeispiel Warteschlange):

  • Sei $Y$ die Anzahl der Personen in Zeitraum $t$ mit $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)$.
  • Wahrscheinlichkeit, dass in Zeit $t$ niemand kommt: $P(Y=0)=e^{-\lambda t}$.
  • Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit $X$ länger als $t$ ist: $P(X>t)=e^{-\lambda t}$.
  • Daraus folgt die Verteilungsfunktion $P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}$ und die Dichte wie oben.

Beispiel:

  • Parameter $\lambda=2$ (Ereignisse pro Minute). Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde in den nächsten 3 Minuten an
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Stetige Verteilungen

Klíčové pojmy: Stetige Zufallsvariable durch Dichte $f$ und Verteilungsfunktion $F$ beschreiben, Quantil $x_p$ ist kleinster Wert mit $F(x_p)\ge p$, Gleichverteilung auf $[a,b]$: $f=1/(b-a)$, $E(X)=(a+b)/2$, Gleichverteilung Varianz $\operatorname{Var}(X)=(b-a)^2/12$, Exponentialverteilung $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ für $x\ge0$, Exponentialverteilung $E(X)=1/\lambda$, $\operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2$, Exponentielle Verteilung ist memoryless: $P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$, Für Poisson-Prozess sind Abstände exponentialverteilt, Schätzer für $\lambda$ oft $\hat{\lambda}=1/\bar{x}$, Prüfe Wertebereich und Prozessannahmen bei Modellwahl

## Einführung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen modellieren Zufallsgrößen, deren Wertebereich überabzählbar ist, zum Beispiel Intervalle $[a,b]$ oder ganzes $\mathbb{R}$. Solche Verteilungen beschreiben z.B. Wartezeiten, Längen, Gewichte oder Zeiten zwischen Ereignissen und sind zentral in Statistik, Warteschlangentheorie und Zuverlässigkeitsanalyse. > **Definition (stetige Zufallsvariable):** Eine Zufallsvariable $X$ ist stetig, wenn es eine Dichtefunktion $f$ gibt, so dass für alle $a<b$ gilt: > $$W(a \leqslant X \leqslant b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ ### Wichtige Begriffe kurz - **Dichtefunktion** $f(x)$: Nichtnegativ, integriert zu 1 über den Wertebereich. - **Verteilungsfunktion** $F(x)$: $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, liefert Wahrscheinlichkeiten $W(X\leqslant x)$. - **Erwartungswert**: $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$. - **Varianz**: $\operatorname{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-E(X))^{2} f(x)\,dx$. ## Quantile > **Definition (Quantil):** Ein $p$-Quantil $x_{p}$ ist die kleinste Ausprägung, sodass $F(x_{p})\geqslant p$. - Fragestellung (deskriptiv): Bei welcher Ausprägung sind $p\cdot 100\%$ der beobachteten Werte höchstens? - Fragestellung (wahrscheinlichkeitsbezogen): Welcher Wert $x_{p}$ erfüllt $P(X\leqslant x_{p})=p$ (bzw. $\geqslant p$ für Definition des kleinsten solchen Werts)? ## Wichtige stetige Verteilungen (mit Beispielen) Im Folgenden zwei zentrale Verteilungen aus dem bereitgestellten Material: die stetige Gleichverteilung und die Exponentialverteilung. (Hinweis: Informationen zur Normalverteilung sind ausgeschlossen.) ### 1) Stetige Gleichverteilung (Uniformverteilung) > **Definition:** $X$ ist gleichverteilt auf $[a,b]$, wenn > $$f_{G}(x\,/\,a;b)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{für } x\in[a,b]\\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$ Eigenschaften: - Parameter: $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$. - Verteilungsfunktion: $$F_{G}(x\,/\,a;b)=\begin{cases}0 &\text{für } x<a\\ \dfrac{x-a}{b-a} &\text{für } x\in[a,b]\\ 1 &\text{für } x>b \end{cases}$$ - Erwartungswert: $$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$$ - Varianz: $$\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$$ Beispiel (Buswartezeit): - Angenommen der Bus kommt alle 5 Minuten, wir wissen nur, dass die Wartezeit gleichverteilt auf $[0,5]$ ist. - Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 3 Minuten warten: $$W(X\leqslant 3)=F_{G}(3\,/\,0;5)=\dfrac{3-0}{5-0}=0.6$$ - Median (50\%-Quantil): $$x_{0.5}=\dfrac{0+5}{2}=2.5$$ Anwendung: - Gleichverteilung eignet sich, wenn alle Werte im Intervall als gleich wahrscheinlich angenommen werden, z.B. zufälliges Ankunftszeitfenster ohne Struktur. Fun fact: Wusstest du, dass die Gleichverteilung auf $[a,b]$ die maximale Entropie unter allen Verteilungen mit vorgegebenem kompakten Träger ist? (Sie ist insofern die "am wenigsten informierte" Verteilung, wenn nur das Intervall bekannt ist.) ### 2) Exponentialverteilung > **Definition:** $X$ ist exponentialverteilt mit Parameter $\lambda>0$, wenn > $$f_{E}(x\,/\,\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &\text{für } x\geqslant 0\\ 0 &\text{sonst} \end{cases}$$ Eigenschaften: - Parameter: $\lambda\in\mathbb{R}_{+}\setminus\{0\}$. - Verteilungsfunktion: $$F_{E}(x\,/\,\lambda)=\begin{cases}0 &\text{für } x<0\\ 1-e^{-\lambda x} &\text{für } x\geqslant 0 \end{cases}$$ - Erwartungswert: $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$ - Varianz: $$\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}$$ Herleitung aus Poisson-Prozess (Anwendungsbeispiel Warteschlange): - Sei $Y$ die Anzahl der Personen in Zeitraum $t$ mit $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)$. - Wahrscheinlichkeit, dass in Zeit $t$ niemand kommt: $P(Y=0)=e^{-\lambda t}$. - Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit $X$ länger als $t$ ist: $P(X>t)=e^{-\lambda t}$. - Daraus folgt die Verteilungsfunktion $P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}$ und die Dichte wie oben. Beispiel: - Parameter $\lambda=2$ (Ereignisse pro Minute). Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde in den nächsten 3 Minuten an