Karteikarten zu Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Grundlagen & Beispiele
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Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
20 Karten
Karte 1
Frage: Was kennzeichnet eine stetige Zufallsvariable bezüglich ihres Wertebereichs und wie wird die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall [a,b] berechnet?
Antwort: Der Wertebereich enthält überabzählbar viele Elemente (z. B. [0,∞) oder ℝ). Für a≤X≤b gilt W(a≤X≤b)=∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).
Karte 2
Frage: Wie werden Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichte f(x) definiert?
Antwort: E(X)=∫_{-∞}^{∞} x·f(x) dx. Var(X)=∫_{-∞}^{∞} (x−E(X))^2·f(x) dx.
Karte 3
Frage: Wie ist das p-Quantil x_p definiert (deskriptive Statistik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung)?
Antwort: Das p‑Quantil x_p ist die kleinste Ausprägung, so dass F(x_p)≥p; also die kleinste x mit P(X≤x)≥p.
Karte 4
Frage: Welche Annahmen wurden für das Beispiel "Wartezeit auf einen Bus" gemacht?
Antwort: X ist die Wartezeit in Minuten; die Wahrscheinlichkeit ist gleichverteilt auf dem Intervall [0,5], d.h. konstante Dichte auf [0,5] und 0 sonst.
Karte 5
Frage: Wie lautet die Dichtefunktion f_G(x;a,b) der stetigen Gleichverteilung auf [a,b]?
Antwort: f_G(x;a,b)=1/(b−a) für x∈[a,b], sonst 0.
Karte 6
Frage: Wie lautet die Verteilungsfunktion F_G(x;a,b) der stetigen Gleichverteilung?
Antwort: F_G(x)=0 für x<a; F_G(x)=(x−a)/(b−a) für x∈[a,b]; F_G(x)=1 für x>b.
Karte 7
Frage: Berechne die Wahrscheinlichkeit, weniger als 3 Minuten zu warten, wenn die Wartezeit gleichverteilt auf [0,5] ist.
Antwort: W(X≤3)=F_G(3;0,5)=(3−0)/(5−0)=3/5=0,6.
Karte 8
Frage: Wie bestimmt man die Wartezeit, die mit 50% Wahrscheinlichkeit mindestens einzuhalten ist (Median) bei einer Gleichverteilung auf [0,5]?
Antwort: Das 0,5‑Quantil x_{0.5} löst (x−0)/(5−0)≥0,5 ⇒ x≥2,5, also ist der Median x_{0.5}=2,5.
Karte 9
Frage: Was ist die allgemeine Formel für den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X?
Antwort: E(X)=∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx
Karte 10
Frage: Wie lautet die Dichte einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b]?
Antwort: f(x)=1/(b-a) für x∈[a,b], sonst 0