Zusammenfassung von Statistische Verteilungen und Stichproben

## Einführung Die **Normalverteilung** ist eine zentrale stetige Verteilung in Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie dient nicht nur als Modell für viele natürliche Messgrößen, sondern auch als Grenzverteilung, mit der sich verschiedene diskrete oder andere stetige Verteilungen approximieren lassen. In diesem Material behandeln wir die Approximation diskreter Verteilungen durch die Normalverteilung, die Stetigkeitskorrektur, den Grenzwert der Studentverteilung und die Approximation empirischer Verteilungen. > **Definition:** Die Standardnormalverteilung hat die Dichte > $$f_N(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-t^2/2}.$$ > Eine Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ hat die Dichte > $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}.$$ ## Grundprinzip: Normalapproximation als Grenzwert Viele diskrete Verteilungen konvergieren, unter geeigneten Bedingungen, bei wachsendem Parameter zu einer Normalverteilung. Allgemein gilt: Wenn Erwartungswert $\mu$ groß genug ist und die Varianz $\sigma^2$ ausreichend groß ist, nähert sich die Verteilung einer Normalverteilung mit Parametern $\mu$ und $\sigma^2$ an. ### Typische Grenzfälle - **Hypergeometrisch**: Für $N\to\infty$, $M\to\infty$, $n\to\infty$ mit $M/N\to\theta$ und $n\,\theta\to\mu$ gilt Approximation durch $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ mit $$\mu = n\frac{M}{N},$$ $$\sigma^2 = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.$$ - **Binomial**: Für $n\to\infty$ und $\theta$ fest gilt Approximation durch $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ mit $$\mu = n\theta,\quad \sigma^2 = n\theta(1-\theta).$$ - **Poisson**: Für $\mu\to\infty$ gilt Approximation durch $\mathcal{N}(\mu,\mu)$. > **Definition (Nützlichkeitsbedingung):** Eine Approximation durch die Normalverteilung gilt in der Praxis als "gut", wenn die Varianz groß genug ist, typischerweise $\sigma^2>9$ oder konkret $n\theta(1-\theta)>9$ bzw. $\mu>9$ bei Poisson. ## Stetigkeitskorrektur (Yates-Korrektur) Bei der Approximation diskreter Wahrscheinlichkeiten durch ein Integral über die Normalverteilung muss eine Stetigkeitskorrektur berücksichtigt werden. > **Formel (Stetigkeitskorrektur):** Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ gilt > $$P(a\le X\le b)\approx \int_{a-0.5}^{b+0.5} f_{N}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\frac{1}{\sigma}\,dx,$$ > wobei $f_N$ die Dichte der Standardnormalverteilung ist. Praktisch bedeutet das: Um $P(X=k)$ oder Summen über ganze Intervalle zu approximieren, verschiebt man die Integrationsgrenzen um $\pm 0.5$. ## Vergleich: Hypergeometrisch vs. Binomial vs. Poisson | Verteilung | Parameterausgangspunkt | Erwartungswert $\mu$ | Varianz $\sigma^2$ | Praktische Gütekriterien | |---|---:|---:|---:|---| | Hypergeometrisch | $N,M,n$ groß | $n\dfrac{M}{N}$ | $n\dfrac{M}{N}\left(1-\dfrac{M}{N}\right)\dfrac{N-n}{N-1}$ | $n\dfrac{M}{N}(1-\dfrac{M}{N})>9$, $N>2n$ | | Binomial | $n$ groß, $\theta$ fest | $n\theta$ | $n\theta(1-\theta)$ | $n\theta(1-\theta)>9$ | | Poisson | $\mu$ groß | $\mu$ | $\mu$ | $\mu>9$ | ## Beispiele mit Stetigkeitskorrektur 1) Hypergeometrische Stichprobe: $N=5000$, $M=1000$, $n=100$. Dann $$\mu = 100\cdot\frac{1000}{5000}=20,$$ $$\sigma^2\approx 16.$$ Für das Ereignis $21\le X\le24$ schätzt man $$P(21\le X\le24)\approx \int_{20.5}^{24.5} f_{N}\left(\frac{x-20}{4}\right)\frac{1}{4}\,dx.$$ Numerisch ergibt das etwa $0.32$. 2) Binomialbeispiel: $n=100$, $\theta=0.2$. Dann $\mu=20$, $\sigma^2=16$. Für $21\le X\le24$ gilt dieselbe Rechnung wie oben; Approximation liefert etwa $0.32$. 3) Poissonbeispiel: $\mu=20$. Die Normalapproximation ist mit $\sigma^2=20$ möglich. Für $21\le X\le24$ ergibt die Stetigkeitskorrektur etwa $0.29$. Wichtig: Die numerischen Werte ändern sich leicht je nach exakter Standardisierung und Tabellengenauigkeit. ## Studentverteilung und Grenzwertverhalten Die Student-t-Verteilung $t_\nu$ mit Freiheitsgraden $\nu$ hat Dichte $$f_{S}(t;\nu)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Ga