Zusammenfassung von Statistische Schätzverfahren und Konfidenzintervalle

## Einführung Konfidenzintervalle sind ein zentrales Werkzeug der Inferenzstatistik, mit dem man aus Stichprobendaten Aussagen über unbekannte Populationsparameter trifft. Anstatt einen einzelnen Punktschätzer zu liefern, geben Konfidenzintervalle einen Bereich an, der mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit den wahren Parameter enthält. Dieses Material erklärt Konstruktion, Interpretation, Einflüsse auf die Breite und verschiedene typische Intervalle samt Beispielen. > **Definition:** Ein Intervall der Form $[L,R]$ heißt ein $1-\alpha$-Konfidenzintervall für einen Parameter $\theta$, falls $\mathrm{P}(L\leqslant\theta\leqslant R)=1-\alpha$ bezogen auf die Zufallsverteilung der Stichprobe. ## Grundidee und Vorgehen ### 1) Zufallsvariablen und Stichprobenverteilung - Betrachte eine Stichprobe $X_1,\dots,X_n$ aus einer Grundgesamtheit. - Der Punktschätzer (z.B. Stichprobenmittel $\overline{X}$) ist selbst eine Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianz. > **Merke:** Für viele Schätzer gilt wegen des Zentralen Grenzwerts $\overline{X}$ ist (approx.) normalverteilt für große $n$. ### 2) Symmetrische Intervallkonstruktion (Prototyp) - Für den Mittelwert $\mu$ bei bekannter Varianz $\sigma^2$ benutzt man das Standardnormalquantil $z_{1-\alpha/2}$. $$\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqslant\mu\leqslant\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ - Beispiel: Bei $1-\alpha=0{,}95$ ist $z_{0{,}975}=1{,}96$. ### 3) Umformungsidee - Standardisiere: $Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ und benutze $$\mathrm{P}(-z_{1-\alpha/2}\leqslant Z\leqslant z_{1-\alpha/2})=1-\alpha$$ - Durch Rücktransformation erhält man das Konfidenzintervall für $\mu$. ## Einflussgrößen auf die Konfidenzbreite - Absolute Schätzfehler: $\Delta\mu = z_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ - Konfidenzbreite: $2\Delta\mu$ Wesentliche Effekte: - Höheres Konfidenzniveau $1-\alpha$ (kleineres $\alpha$) ⇒ größeres $z_{1-\alpha/2}$ ⇒ breiteres Intervall. - Größere Populationsvarianz $\sigma^2$ ⇒ breiteres Intervall. - Größeres $n$ ⇒ $\Delta\mu$ sinkt mit $1/\sqrt{n}$ ⇒ engeres Intervall. > **Formel für notwendigen Stichprobenumfang:** $$n=\dfrac{z_{1-\alpha/2}^2\,\sigma^2}{(\Delta\mu)^2}$$ Interpretation: Für einen vorgegebenen absoluten Fehler $\Delta\mu$ benötigt man mindestens dieses $n$. ## Typische Konfidenzintervalle und ihre Formeln Tabelle: Vergleich gebräuchlicher Konfidenzintervalle | Zielparameter | Voraussetzung | Konfidenzintervall | |---|---:|---| | Mittelwert $\mu$ (bekannte $\sigma$) | Normalverteilung oder grosser $n$ | $\overline{X}\pm z_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ | | Mittelwert $\mu$ (unbekannte $\sigma$) | $s$ aus Stichprobe, $n$ meist beliebig | $\overline{X}\pm t_{n-1;1-\alpha/2}\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ | | Anteilswert $\theta$ | $np(1-p)\geqslant 9$ (Approximation) | $p\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n-1}}$ | | Varianz $\sigma^2$ | Normalverteilung vorausgesetzt | $\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}^2}\leqslant\sigma^2\leqslant\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}^2}$ | ### Hinweise zu t- und Chi-Quadrat-Verteilungen - Wenn $\sigma$ unbekannt ist, folgt die standardisierte Stichprobenmittelabweichung einer Student-$t$-Verteilung mit $\nu=n-1$ Freiheitsgraden. - Für Varianzschätzungen verwendet man die Chi-Quadrat-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden. ## Praktische Beispiele ### Beispiel 1: Warmmieten, bekannte Varianz - Gegeben: $n=25$, $\overline{x}=420$, $\sigma=50$, $1-\alpha=0{,}95$. $$420-1{,}96\cdot\dfrac{50}{\sqrt{25}}\leqslant\mu\leqslant420+1{,}96\cdot\dfrac{50}{\sqrt{25}}$$ $$400{,}4\leqslant\mu\leqslant439{,}6$$ ### Beispiel 2: Warmmieten, unbekannte Varianz - Gegeben: $n=25$, $\overline{x}=420$, $s\approx47$, $t_{24;0{,}975}=2{,}064$. $$420-2{,}064\cdot\dfrac{47}{\sqrt{25}}\leqslant\mu\leqslant420+2{,}064\cdot\dfrac{47}{\sqrt{25}}$$ $$400{,}6\leqslant\mu\leqslant439{,}4$$ ### Beispiel 3: Anteilswert in Wählerbefragung - Gegeben: $n=50$, $x=20$, $p=0{,}4$,