Zusammenfassung von Proportionalität und Datenanalyse

## Einführung Dieser Lernzettel behandelt Aufgaben zum Dreisatz und zur Proportionalität in praktischen Situationen. Ziel ist, das Rechnen mit Verhältnissen zu üben, Dreisatzaufgaben sicher zu lösen und Ergebnisse logisch zu prüfen. Du findest Erklärungen, Beispiele, Schritt-für-Schritt-Lösungen und Hinweise zur Kontrolle. > Definition: Der Dreisatz ist eine Methode, um mit bekannten Verhältnissen fehlende Werte zu berechnen, indem man eine gegebene Größe auf eine Einheit normiert und dann auf die gewünschte Größe überträgt. ## Grundprinzipien (kurz) - Schritt 1: Schreibe die gegebene Zuordnung als Verhältnis. Normiere auf eine Einheit (meist auf 1 Einheit einer Größe). - Schritt 2: Multipliziere oder dividiere, um die gesuchte Größe zu erhalten. - Schritt 3: Prüfe das Ergebnis durch plausibilitätsüberlegungen (Einheiten, Größenordnung). > Definition: Proportionalität bedeutet, dass zwei Größen im konstanten Verhältnis zueinander stehen; wenn eine Größe verdoppelt wird, verdoppelt sich die andere. ## Wichtige Rechenmuster - Direkter Dreisatz (direkte Proportionalität): Wenn $a$ zu $b$ steht wie $c$ zu $x$, dann gilt $x = \frac{b\cdot c}{a}$. - Indirekter Dreisatz (inverse Proportionalität): Wenn bei steigender einen Größe die andere sinkt, verwendet man $x = \frac{a\cdot b}{c}$ in der passenden Anordnung. ## Tabellen zum Vergleich | Situation | Vorgehen | Formel (Direkter Fall) | | --- | --- | --- | | Menge und Preis | Normiere auf 1 Einheit, multipliziere | $x = \frac{Preis\cdot gew\,Menge}{gegeben\,Menge}$ | | Zeit und Arbeit | Normiere auf 1 Tag oder 1 Person | $x = \frac{Arbeit\cdot Norm}{gegeben}$ | ## Beispiele mit Lösungen aus dem Inhalt 1) Käse: Jenny braucht 350 g, Verkäufer wiegt 380 g, Preisangabe fehlt in Aufgabe. Annahme: Preis sei proportional zur Masse. Wenn der Preis für 350 g $p_{350}$ wäre, dann zahlt sie für 380 g: $$Preis_{380} = Preis_{350}\cdot \frac{380}{350}$$ - Vorgehen: Normiere auf 1 g: $Preis_{1} = \frac{Preis_{350}}{350}$, dann $Preis_{380} = 380\cdot Preis_{1}$. - Kontrolle: $\frac{Preis_{380}}{Preis_{350}} = \frac{380}{350} > 1$ (kostet etwas mehr). 2) Familie Holl: sieben Personen zu Besuch; es gibt Pizza. (Bildaufgabe) - Vorgehen: Wenn für eine Person $m$ Stücke/Toppings/Teig benötigt werden, dann für 7 Personen $7\cdot m$. Normiere vorher auf Basisangabe aus der Aufgabenstellung (z. B. Rezept für 4 Personen). Beispiel: Rezept für 4 Personen braucht $12$ Stücke; für 7 Personen: $$Stuecke_{7} = 12\cdot \frac{7}{4} = 21$$ 3) Radrennen: Runde $12\,\mathrm{km}$, 8 Runden, Zeit $2$ Stunden $48$ Minuten. - Gesamtzeit in Minuten: $$2\,\mathrm{h}\;48\,\mathrm{min} = 2\cdot 60 + 48 = 168\,\mathrm{min}$$ - a) Minuten pro Runde: $$\frac{168}{8} = 21\,\mathrm{min}$$ - b) Sekunden pro Kilometer: Gesamtstrecke $8\cdot 12 = 96\,\mathrm{km}$. Gesamtzeit in Sekunden: $$168\cdot 60 = 10080\,\mathrm{s}$$ Sekunden pro km: $$\frac{10080}{96} = 105\,\mathrm{s}$$ 4) Schaubild-Diskussion (Emilia und Leonie): Wenn die Werte als diskrete Messpunkte vorliegen, verbindet man die Punkte nicht mit einer Linie; wenn die Zuordnung als stetiger Zusammenhang gedacht ist, darf man verbinden. Entscheide nach Kontext: Messreihe (nicht verbinden) oder Funktion/Trend (verbinden). 5) Tabelle ändern, damit Zuordnung proportional wird: | Zeit in h | $1/2$, $2$, $3$, $6$ | | Strecke in km | $7$, $28$, $52$, $84$ | - Prüfe Verhältnisse $\frac{Strecke}{Zeit}$: für $1/2$ h: $\frac{7}{1/2}=14$, für $2$ h: $14$, für $3$ h: $\frac{52}{3}\approx 17{,}33$, für $6$ h: $14$. Um proportional zu sein, muss jeder Quotient gleich $14$. Ändere $52$ zu $42$, denn $\frac{42}{3}=14$. 6) Hotelpreis: Gruppe 6 Personen, 6 Tage. (Bildaufgabe) - Vorgehen: Normiere auf Preis pro Person und pro Nacht aus Angebotsangabe. Beispiel: Wenn Preis pro Person und Nacht $p$, dann Gesamtpreis: $$Gesamt = 6\cdot 6\cdot p = 36p$$ 7) Kfz-Werkstatt (Arbeitswerte AW): 22 AW kosten $154{,}00\,\mathrm{€}$. - Preis pro AW: $$Preis_{1} = \frac{154}{22} = 7\,\mathr