Test zu Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Frage 1: Im Würfelbeispiel, bei dem $X = (X_{1}, X_{2})$ eine zweidimensionale Zufallsvariable ist, bildet die Zufallsvariable $X_{2}$ auf die Anzahl der Augen ab.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Laut den Studienmaterialien bildet im Würfelbeispiel $X_{1}$ auf die Anzahl der Augen ab. $X_{2}$ ist 1, wenn die Augenzahl gerade ist, und 0 sonst.

Frage 2: Was stellt $f(v_1, \ldots, v_k)$ in der Formel $W (X_1 \leqslant x_1, \dots, X_k \leqslant x_k) = \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_k} f (v_1, \dots, v_k) \, dv_k \dots dv_1$ für eine mehrdimensionale stetige Zufallsvariable dar?

A. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

B. Die Dichtefunktion

C. Die kumulative Verteilungsfunktion

D. Die Randverteilungsfunktion

Erklärung: Gemäß den Studienmaterialien ist $f(v_1,\ldots,v_k)$ in der gegebenen Formel für die Verteilungsfunktion einer mehrdimensionalen stetigen Zufallsvariablen die zugehörige Dichtefunktion.

Frage 3: Die Varianz einer Linearkombination $aX + bY$ ist immer gleich $a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y)$.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Für die Varianz einer Linearkombination $aX \pm bY$ gilt die Formel $a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y) \pm 2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$. Der Term $2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$ muss berücksichtigt werden, es sei denn, die Zufallsvariablen sind unkorreliert (was impliziert, dass $\mathrm{Cov}(X,Y) = 0$). Die gegebene Aussage ist daher nicht immer korrekt.

Frage 4: Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ist definiert als der Erwartungswert des Produkts der Abweichungen von $X$ und $Y$ von ihren jeweiligen Erwartungswerten.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Kovarianz für zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ist definiert durch $\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}\left[ [X - \operatorname{E}(X)] [Y - \operatorname{E}(Y)] \right]$. Dies entspricht dem Erwartungswert des Produkts der Abweichungen von $X$ und $Y$ von ihren Mittelwerten.

Frage 5: Welche Bedingung muss für die gemeinsame Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x_1, \ldots, x_k)$ stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen $X_1, \ldots, X_k$ erfüllt sein?

A. $f (x_1, \ldots, x_k) = f_{X_1} (x_1) + \ldots + f_{X_k} (x_k)$

B. $f (x_1, \ldots, x_k) = f_{X_1} (x_1) \cdot \ldots \cdot f_{X_k} (x_k)$

C. $f (x_1, \ldots, x_k) = f_{X_1} (x_1) - \ldots - f_{X_k} (x_k)$

D. $f (x_1, \ldots, x_k) = \sum_{i=1}^k f_{X_i} (x_i)$

Erklärung: Für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1, \ldots, X_k$ muss die gemeinsame Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion $f (x_1, \ldots, x_k)$ dem Produkt der Randdichten bzw. Randwahrscheinlichkeitsfunktionen entsprechen, also $f (x_1, \ldots, x_k) = f_{X_1} (x_1) \cdot \ldots \cdot f_{X_k} (x_k)$.