Zusammenfassung von Mehrdimensionale Zufallsvariablen

## Einführung Bedingte Verteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen verändert, wenn bereits bekannt ist, dass eine andere Zufallsvariable einen bestimmten Wert angenommen hat. Für diskrete Zufallsvariablen ist die bedingte Verteilung besonders anschaulich und berechenbar aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion und den Randverteilungen. > **Definition:** Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die diskrete Zufallsvariable $X$ den Wert $x_i$ annimmt, gegeben dass $Y=y_j$ eingetreten ist, ist > $$W\left(X = x_i \mid Y = y_j\right) = \frac{W\left(X = x_i, Y = y_j\right)}{W\left(Y = y_j\right)} = \frac{f(x_i,y_j)}{f_Y(y_j)} =: f\left(x_i \mid y_j\right).$$ > **Analog:** > $$W\left(Y = y_j \mid X = x_i\right) = \frac{f(x_i,y_j)}{f_X(x_i)} =: f\left(y_j \mid x_i\right).$$ ## Grundkonzept in kleinen Schritten 1. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion: $f(x_i,y_j)=W\left(X=x_i, Y=y_j\right)$. Sie ordnet jedem Wertepaar eine Wahrscheinlichkeit zu. 2. Randverteilung: $f_X(x_i)=\sum_j f(x_i,y_j)$ und $f_Y(y_j)=\sum_i f(x_i,y_j)$. Diese ergeben sich durch Summation über die andere Variable. 3. Bedingte Verteilung: Normiere die Zeile/Spalte der gemeinsamen Funktion durch die passende Randwahrscheinlichkeit. ### Visuelle Vorstellung - Fixiere einen Wert $y_j$ von $Y$. Die bedingte Verteilung $f(x_i\mid y_j)$ ist die Verteilung von $X$ innerhalb der Spalte $y_j$, normiert so, dass die Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben. - Analog ist $f(y_j\mid x_i)$ die Verteilung von $Y$ innerhalb der Zeile $x_i$, normiert. ## Beispiel: Störanfällige Maschine (diskrete Fallzahlen) Gegeben sei die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion für Ausfälle pro Tag zweier Bauteile $B_1$ und $B_2$ mit $X$ = Ausfälle von $B_1$ ($x\in\{0,1,2\}$) und $Y$ = Ausfälle von $B_2$ ($y\in\{0,1,2\}$): | $x_i \downarrow\; y_j \rightarrow$ | 0 | 1 | 2 | $f_X(x_i)$ | | --- | ---: | ---: | ---: | ---: | | 0 | 0{,}30 | 0{,}14 | 0{,}02 | 0{,}46 | | 1 | 0{,}18 | 0{,}10 | 0{,}02 | 0{,}30 | | 2 | 0{,}12 | 0{,}06 | 0{,}06 | 0{,}24 | | $f_Y(y_j)$ | 0{,}60 | 0{,}30 | 0{,}10 | 1{,}00 | - Die Werte in der letzten Spalte und letzten Zeile sind Randverteilungen und Summe 1 insgesamt. ### Bedingte Verteilung für $Y=0$ Wir nehmen an, dass $Y=0$ eingetreten ist. Dann gilt für $x\in\{0,1,2\}$: $$f(x\mid 0)=\frac{f(x,0)}{f_Y(0)}.$$ Tabelle der Berechnung: | $x$ | $f(x,0)$ | $f(x\mid 0)$ | | --- | ---: | ---: | | 0 | 0{,}30 | 0{,}50 | | 1 | 0{,}18 | 0{,}30 | | 2 | 0{,}12 | 0{,}20 | | $\sum$ | 0{,}60 | 1{,}00 | Rechnung für $x=0$: $f(0\mid 0)=\dfrac{0{,}30}{0{,}60}=0{,}50$; analog für die anderen Werte. ## Praktische Anwendungen - Fehleranalyse in der Produktion: Wenn bekannt ist, dass ein bestimmtes Modul ausgefallen ist, lassen sich die Wahrscheinlichkeiten weiterer Ausfälle bedingt bestimmen. - Medizinische Diagnostik: Bedingte Verteilungen verwenden Ärzte, um die Wahrscheinlichkeit von Symptomen zu schätzen, gegeben dass eine Krankheit vorliegt. - Entscheidungsmodelle: In Warteschlangensystemen oder Netzwerkzuverlässigkeit helfen bedingte Wahrscheinlichkeiten beim Planen von Gegenmaßnahmen. ## Vergleich: Gemeinsame, Rand- und bedingte Verteilungen | Begriff | Bedeutung | Formel (diskret) | | --- | --- | --- | | Gemeinsame Verteilung | Wahrscheinlichkeit für Paar $(X,Y)$ | $f(x_i,y_j)=W(X=x_i,Y=y_j)$ | | Randverteilung | Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Variablen | $f_X(x_i)=\sum_j f(x_i,y_j)$, $f_Y(y_j)=\sum_i f(x_i,y_j)$ | | Bedingte Verteilung | Verteilung einer Variable gegeben den Wert der anderen | $f(x_i\mid y_j)=\dfrac{f(x_i,y_j)}{f_Y(y_j)}$ | ## Wichtige Hinweise - Bedingte Verteilungen sind nur definiert für Werte, bei denen die Randwahrscheinlichkeit $>0$ ist; also $f_Y(y_j)>0$ bzw. $f_X(x_i)>0$. - Die bedingte Verteilung ist selbst wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\sum_i f(x_i\mid y_j)=1$ für festes $y_j$. Wusstest du, dass man bedingte Wahrscheinlichkeiten formal auch mit Hilfe des Satzes von Bayes miteinander