Karteikarten zu Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen: Grundlagen & Beispiele
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Stochastische Zufallsvariablen und Abhängigkeit
13 Karten
Karte 1
Frage: Was ist die Randverteilung einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen für eine diskrete Komponente X1?
Antwort: f_{X_1}(x)=\sum_{v_2}\dots\sum_{v_k} f(x,v_2,\ldots,v_k) (Summe über alle möglichen Werte der übrigen Komponenten).
Karte 2
Frage: Wie erhält man die Randdichte für X1 bei einer stetigen k-dimensionalen Zufallsvariablen?
Antwort: f_{X_1}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} f(x,v_2,\ldots,v_k)\,dv_k\cdots dv_2 (Integration über die übrigen Variablen).
Karte 3
Frage: Wie lassen sich die Verteilungsfunktionen der Randverteilungen bestimmen?
Antwort: Sie folgen durch Integration (stetig) bzw. Summation (diskret) der gemeinsamen Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion über die übrigen Variablen.
Karte 4
Frage: Wann gelten Zufallsvariablen X1,...,Xk als stochastisch unabhängig?
Antwort: Genau dann, wenn für alle x_1,...,x_k gilt: P(X_1\le x_1,\ldots,X_k\le x_k)=\prod_{i=1}^k P(X_i\le x_i).
Karte 5
Frage: Wie drückt sich Unabhängigkeit in Form der gemeinsamen Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion aus?
Antwort: Für alle x_1,...,x_k muss f(x_1,\ldots,x_k)=f_{X_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot f_{X_k}(x_k) gelten.
Karte 6
Frage: Wie prüft man an einer 2-diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung, ob X und Y unabhängig sind?
Antwort: Man vergleicht für alle Paare (x,y) die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten f(x,y) mit dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten f_X(x)f_Y(y). Sind sie fü
Karte 7
Frage: Wie ist die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen X und Y definiert?
Antwort: Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))].
Karte 8
Frage: Was sagt die Kovarianz über den Zusammenhang zwischen zwei Variablen aus?
Antwort: Sie gibt die Stärke des linearen Zusammenhangs an; positive Werte deuten auf positiven Zusammenhang, negative auf negativen.
Karte 9
Frage: Welcher Wertebereich gilt allgemein für die Kovarianz?
Antwort: -σ_X σ_Y \le Cov(X,Y) \le σ_X σ_Y, wobei σ_X und σ_Y die Standardabweichungen sind.
Karte 10
Frage: Gilt aus Unabhängigkeit immer Cov(X,Y)=0 und gilt die Umkehrung?
Antwort: Wenn X und Y unabhängig sind, dann ist Cov(X,Y)=0. Die Umkehrung (Cov(X,Y)=0 ⇒ unabhängig) gilt jedoch nicht allgemein.