Zusammenfassung von Konfidenzintervalle und Hypothesentests

## Einführung Das Konzept des **Konfidenzintervalls** gibt an, in welchem Bereich ein unbekannter Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Sicherheit (Konfidenzniveau) liegt. In diesem Material konzentrieren wir uns auf Konfidenzintervalle für die Differenz zweier arithmetischer Mittel und für die Differenz zweier Anteilswerte. Ziel ist es, die Formeln, Annahmen und praktische Anwendungen klar und verständlich darzustellen. > Definition: Ein Konfidenzintervall für einen Parameter $ heta$ ist ein Intervall, das mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ den wahren Wert von $ heta$ enthält. ## Grundprinzip: Stichprobenverteilung der Differenz - Betrachtet werden zwei unabhängige Stichproben aus zwei Grundgesamtheiten. - Neue Zufallsvariable für arithmetische Mittel: $D = X_1 - X_2$ mit Erwartungswert $E(D)=\mu_1-\mu_2$ und Varianz $\operatorname{Var}(D)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$. - Neue Zufallsvariable für Anteilswerte: $D = P_1 - P_2$ mit Erwartungswert $E(D)=\theta_1-\theta_2$ und Varianz $\operatorname{Var}(D)=\frac{\theta_1(1-\theta_1)}{n_1}+\frac{\theta_2(1-\theta_2)}{n_2}$. > Definition: Die Standardabweichung der Differenz heißt $\sigma_D = \sqrt{\operatorname{Var}(D)}$. ## Konfidenzintervall für die Differenz zweier arithmetischer Mittel ### Annahmen - Beide Stichproben stammen idealerweise aus normalverteilten Grundgesamtheiten oder sind groß genug (Zentraler Grenzwertsatz). - Unabhängigkeit der Stichproben. ### Fall 1: Große Stichproben (oder bekannte Varianzen) - Schätzer der Standardabweichung der Differenz: $$\hat{\sigma}_D = s_D = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$ - Konfidenzintervall (Normalverteilung): $$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-z\,\hat{\sigma}_D \leq \mu_1-\mu_2 \leq (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+z\,\hat{\sigma}_D$$ - $z$ ist der Quantilwert der Standardnormalverteilung zum gewünschten Konfidenzniveau. ### Fall 2: Kleine Stichproben (unter 30) und unbekannte Varianzen - Verwende die Student-t-Verteilung mit ungefähren Freiheitsgraden $$\nu \approx \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}\,.$$ - Konfidenzintervall: $$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{\nu,1-\alpha/2}\,\hat{\sigma}_D \leq \mu_1-\mu_2 \leq (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+t_{\nu,1-\alpha/2}\,\hat{\sigma}_D$$ ### Beispiel (kleine Stichproben, Student-Verteilung) - Gegeben: $n_1=15$, $\bar{x}_1=84$, $s_1=6$; $n_2=10$, $\bar{x}_2=90$, $s_2=8$; Konfidenzniveau $95\%$. - Freiheitsgrade näherungsweise: $\nu\approx 15{,}6\approx 15$. - Student-Quantil: $t_{15,0{,}975}=2{,}131$. - Schätzer der Standardabweichung der Differenz: $$\hat{\sigma}_D=\sqrt{\frac{6^2}{15}+\frac{8^2}{10}}=2{,}97$$ - Intervall: $$(84-90)-2{,}131\cdot 2{,}97 \leq \mu_1-\mu_2 \leq (84-90)+2{,}131\cdot 2{,}97$$ - Ergebnis: $$-12{,}3 \leq \mu_1-\mu_2 \leq 0{,}3$$ ## Konfidenzintervall für die Differenz zweier Anteilswerte ### Annahmen - Zwei sehr große Grundgesamtheiten, unabhängige Stichproben der Größe $n_1$ und $n_2$. - Faustregel für Normalapproximation: $n_1 p_1(1-p_1)\ge 9$ und $n_2 p_2(1-p_2)\ge 9$. ### Schätzung der Varianz - Schätzer für die Varianz der Differenz: $$\widehat{\operatorname{Var}}(D)=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}$$ - Schätzer der Standardabweichung: $$\hat{\sigma}_D=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$ ### Konfidenzintervall (Normalapproximation) $$(p_1-p_2)-z\,\hat{\sigma}_D \leq \theta_1-\theta_2 \leq (p_1-p_2)+z\,\hat{\sigma}_D$$ ### Beispiel (Anteilsdifferenz) - Gegeben: $n_1=200$, $p_1=0{,}60$; $n_2=500$, $p_2=0{,}48$; Konfidenzniveau $99\%$ ($z=2{,}58$). - Schätzer: $$\hat{\sigma}_D=\sqrt{\frac{0{,}60\cdot 0{,}40}{200}+\frac{0{,}48\cdot 0{,}52}{500}}=0{,}0412$$ - Intervall: $$(0{,}60-0{,}48)-2{,}58\cdot 0{,}0412 \leq \theta_1-\theta_2 \leq (0{,}60-0{,}48)+2{,}58\cdot 0{,}0412$$ - Ergebnis: $$0{,}014 \leq \theta_1-\theta_2 \leq 0{,}226$$ ## Vergleichstabelle: Mittelwerte vs. Anteilswerte | Aspekt | Di