Karteikarten zu Konfidenzintervalle und Hypothesentests
Konfidenzintervalle und Hypothesentests: Grundlagen & Beispiele
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Konfidenzintervall
23 Karten
Karte 1
Frage: Was ist die Zufallsvariable D, wenn zwei Gruppen mit Stichprobenmitteln X1 und X2 betrachtet werden?
Antwort: D = X1 − X2 (Differenz der Stichprobenmittel).
Karte 2
Frage: Wie lautet der Erwartungswert E(D) und die Varianz Var(D) der Differenz D = X1 − X2 bei unabhängigen Normalverteilungen?
Antwort: E(D) = μ1 − μ2 und Var(D) = σ1^2/n1 + σ2^2/n2 (σD = √Var(D)).
Karte 3
Frage: Welche Wahrscheinlichkeitseigenschaft gilt für die normalverteilte Zufallsvariable D im Kontext des Konfidenzintervalls?
Antwort: P((μ1−μ2) − z·σD ≤ X1−X2 ≤ (μ1−μ2) + z·σD) = 1 − α (bzw. W(E(D) − zσD ≤ D ≤ E(D) + zσD) = 1 − α).
Karte 4
Frage: Wie schätzt man σD, wenn die Varianzen σ1^2 und σ2^2 unbekannt sind und ungleich sein können?
Antwort: Schätzer S_D^2 = S1^2/n1 + S2^2/n2, also ˆσ_D = s_D = √(s1^2/n1 + s2^2/n2), wobei s1^2 und s2^2 die Stichprobenvarianzen sind.
Karte 5
Frage: Wie lautet das Konfidenzintervall für die Differenz der Grundgesamtheitsmittel μ1 − μ2 mit unbekannten Varianzen (große Stichproben)?
Antwort: (x1 − x2) − z·ˆσ_D ≤ μ1 − μ2 ≤ (x1 − x2) + z·ˆσ_D, mit ˆσ_D = √(s1^2/n1 + s2^2/n2).
Karte 6
Frage: Wann verwendet man statt der Normalverteilung die Student-t-Verteilung für das Konfidenzintervall der Differenz zweier Mittel?
Antwort: Bei zwei unabhängigen "kleinen" Stichproben (Umfänge unter 30) aus normalverteilten Grundgesamtheiten verwendet man die Student-t-Verteilung.
Karte 7
Frage: Wie lautet das Konfidenzintervall für kleine Stichproben mit Student-t-Verteilung?
Antwort: (x1 − x2) − t·ˆσ_D ≤ μ1 − μ2 ≤ (x1 − x2) + t·ˆσ_D, wobei t aus der Studentverteilung mit geeigneten Freiheitsgraden stammt.
Karte 8
Frage: Wie wird die angenäherte Anzahl der Freiheitsgrade ν für zwei unabhängige kleine Stichproben berechnet?
Antwort: ν ≈ ((s1^2/n1 + s2^2/n2)^2) / ( (s1^4 / (n1^2 (n1−1))) + (s2^4 / (n2^2 (n2−1))) ). (Formel aus dem Text zur Approximation.)
Karte 9
Frage: Ab welchem Wert von ν kann man die Student- durch die Normalverteilung approximativ ersetzen?
Antwort: Bei ν ≥ 30 kann wieder mit der Normalverteilung gearbeitet werden (Approximation).
Karte 10
Frage: Rechne: Bei n1=40, n2=50, x1=30 200€, x2=32 300€, s1=5700€, s2=7100€ und 95%-Sicherheitsgrad: Wie wird ˆσ_D berechnet (Wert aus Beispiel)?
Antwort: ˆσ_D = s_D = √(5700^2/40 + 7100^2/50) = 1349,2 (wie im Beispiel angegeben).