Zusammenfassung von Inverse und lineare Funktionen in der Wirtschaft

## Einführung Lineare Funktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen sich ein Wert gleichmäßig mit einem anderen ändert. Sie haben die Form $f(x)=k\cdot x+d$ und werden als Geraden im Koordinatensystem dargestellt. Lineare Funktionen sind wichtig, um alltägliche Probleme wie Geschwindigkeit, Preisentwicklung oder verbleibende Seiten in einem Buch zu modellieren. > **Definition:** Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=k\cdot x+d$, wobei $k$ die **Steigung** und $d$ der **y-Achsenabschnitt** (oder Anfangswert) ist. ## Grundbegriffe und ihre Bedeutung ### Steigung $k$ - Die Steigung $k$ gibt an, um wie viele Einheiten der Funktionswert $f(x)$ sich ändert, wenn $x$ um 1 zunimmt. - Positive Steigung: Gerade steigt, negative Steigung: Gerade fällt, $k=0$: konstante Funktion. > **Merksatz:** $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (Änderung der $y$-Werte geteilt durch Änderung der $x$-Werte). ### y-Achsenabschnitt $d$ - $d$ ist der Funktionswert bei $x=0$, also $f(0)=d$. ### Nullstelle - Nullstelle ist der $x$-Wert, bei dem $f(x)=0$ ist. Sie ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. > **Definition:** Eine Nullstelle $x_0$ erfüllt $f(x_0)=0$. ## Darstellung einer linearen Funktion 1. Bestimme $k$ und $d$ aus der Funktionsgleichung $f(x)=k\cdot x+d$. 2. Trage den Punkt $(0|d)$ auf der y-Achse ein. 3. Nutze die Steigung $k$ als Anstieg: von einem Punkt aus gehe 1 nach rechts und $k$ nach oben (oder unten bei negativem $k$). ### Beispiel 1: Einfaches Zeichnen Gegeben: $f(x)=x+3$. Hier ist $k=1$, $d=3$. Punkt $(0|3)$, Steigung 1 bedeutet: von $(0|3)$ zu $(1|4)$. ### Beispiel 2: Negativer Anstieg Gegeben: $f(x)=-2x-5$. Hier ist $k=-2$, $d=-5$. Punkt $(0|-5)$, von dort 1 nach rechts und 2 nach unten zur nächsten markanten Stelle. ## Nullstellen berechnen (Rechenweg) - Allgemein löst man $k\cdot x+d=0$ nach $x$ auf: $$k\cdot x+d=0$$ $$x=-\frac{d}{k}$$ - Beispiel: $f(x)=x+3$ liefert $$x+3=0$$ $$x=-3$$ - Beispiel: $f(x)=-2x-5$ liefert $$-2x-5=0$$ $$-2x=5$$ $$x=-\frac{5}{2}$$ ## Anwendungsbeispiel: Leseaufgabe (Musterbeispiel) Leonie hat 230 Seiten, liest 1 Seite in 2 min. Stefanie hat 270 Seiten, liest 2 Seiten in 3 min. - Leonie: Lesegeschwindigkeit $\frac{1}{2}$ Seite pro Minute \(also Verlust der verbleibenden Seiten\) ergibt Steigung $k=-\frac{1}{2}$ und Anfangswert $d=230$. $$f(t)=230-\frac{1}{2}\cdot t$$ - Stefanie: $\frac{2}{3}$ Seiten pro Minute $\,\Rightarrow\,$ $k=-\frac{2}{3}$, $d=270$. $$g(t)=270-\frac{2}{3}\cdot t$$ Nullstellen bestimmen (Wann ist kein Buch mehr übrig?): $$230-\frac{1}{2}\cdot t=0$$ $$t=460$$ $$270-\frac{2}{3}\cdot t=0$$ $$t=405$$ Leonie braucht 460 min, Stefanie 405 min. Schnittpunkt (Wann haben beide gleich viele Seiten übrig?): $$230-\frac{1}{2}\cdot t=270-\frac{2}{3}\cdot t$$ Bringe Terme zusammen: $$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\cdot t=40$$ $$\frac{2}{6}\cdot t=40$$ $$t=240$$ Also nach 240 min $=4$ h haben beide noch gleich viele Seiten: $$f(240)=230-\frac{1}{2}\cdot 240=110$$ ## Weitere typische Aufgabenstellungen - Gegeben: Nullstelle $N=(x_0|0)$ und Steigung $k$. Finde $f(x)$: Verwende $f(x)=k\cdot (x-x_0)$ oder bestimme $d$ durch $0=k\cdot x_0+d$ also $d=-k\cdot x_0$. - Gegeben: Punkt $N=(3|0)$ und $k=\frac{1}{2}$. Dann $d=-k\cdot 3=-\frac{3}{2}$ und $$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x-\frac{3}{2}$$ - Gegeben: Punkt $N=(-5|0)$ und $k=\frac{1}{2}$. Dann $d=-\frac{1}{2}\cdot(-5)=\frac{5}{2}$ und $$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x+\frac{5}{2}$$ ## Tabellenübersicht: Eigenschaften im Vergleich | Eigenschaft | Bedeutung | Beispiel | |---|---:|---| | Steigung $k$ | Änderungsrate $\Delta y/\Delta x$ | $k=1$ (steigend), $k=-2$ (fallend) | | Achsenabschnitt $d$ | Wert bei $x=0$ | $d=3$ $\,\Rightarrow\,$ Punkt $(0|3)$ | | Nullstelle $x_0$ | Lösung von $f(x)=0$ | $x_0=-\frac{d}{k}$ | ## Praktische Anwendungen - Modellierung von Restmengen (z. B. Seiten eines Buches, Benzin im Tank) - Lineare Kosten- und Erlösmodelle (grundlegend, aber ausführlich in Kostenrechnung separat behandelt) - Geschwindigkeit bei gleichförmiger B