Podcast über Häufigkeitsverteilungen und Assoziationsmaße für zwei Merkmale

Kapitoly

Der Start mit zwei Merkmalen

Die Kontingenztafel als Landkarte

Ein Blick auf die Realität

Relative und bedingte Häufigkeiten

Hängen die Merkmale zusammen?

Erwartung vs. Realität

Den Zusammenhang messen

Das letzte große Thema

Die Korrektur

Das Beispiel

Fazit und Abschied

Přepis

Niklas: Stell dir vor, du bist Marketing-Manager bei einem großen Streaming-Anbieter. Du siehst, dass jemand gerne Science-Fiction schaut. Okay, guter Anfang. Aber dann siehst du auch, dass die Person Komödien liebt. Und plötzlich kannst du viel bessere Empfehlungen geben, wie zum Beispiel Sci-Fi-Komödien.

Mia: Exakt! Und genau diese Verknüpfung von zwei Merkmalen – hier also „Genre 1“ und „Genre 2“ – ist der Kern von dem, was wir heute besprechen. Willkommen zum Studyfi Podcast.

Niklas: Wir steigen also eine Ebene tiefer ein. Bisher haben wir uns ja oft nur eine Eigenschaft angeschaut, eine sogenannte Häufigkeitsverteilung für *ein* Merkmal. Jetzt werden es zwei.

Mia: Genau. Stell es dir wie eine einfache Liste vor, die man in der Statistik „Urliste“ nennt. Wir fragen nicht mehr nur: „Welche Schuhgröße hast du?“, sondern: „Welche Schuhgröße hast du UND was ist deine Lieblingsfarbe?“

Niklas: Okay, also für jede Person, unsere statistische Einheit, notieren wir zwei Dinge. Person 1: Schuhgröße 43, Lieblingsfarbe Blau. Person 2: Schuhgröße 38, Lieblingsfarbe Grün. Und so weiter.

Mia: Richtig. Wir haben also immer Wertepaare. In der Formelsprache nennen wir die Ausprägungen des ersten Merkmals, zum Beispiel Schuhgröße, $a_i$ und die des zweiten, der Farbe, $b_i$.

Niklas: Aber so eine lange Liste mit Wertepaaren wird doch schnell unübersichtlich, oder? Wenn ich tausend Leute befrage, verliere ich ja komplett den Überblick.

Mia: Absolut. Und deshalb brauchen wir ein Werkzeug, um Ordnung ins Chaos zu bringen. Das ist die sogenannte Häufigkeitstabelle oder auch Kontingenztafel. Klingt kompliziert, ist aber im Grunde nur ein Gitter, eine Art Tabelle.

Niklas: Wie ein Koordinatensystem für unsere Daten?

Mia: Ja, das ist eine super Eselsbrücke! In den Zeilen steht das eine Merkmal, sagen wir mal Sportbegeisterung mit den Ausprägungen „ja“ und „nein“. In den Spalten steht das zweite Merkmal, zum Beispiel Geschlecht mit „männlich“ und „weiblich“.

Niklas: Und in die Kästchen der Tabelle kommt dann was? Die Anzahl der Leute, die in beide Kategorien fallen?

Mia: Genau das! Wir zählen, wie oft eine bestimmte Kombination auftritt. Zum Beispiel: Wie viele männliche Studierende sind sportbegeistert? Diese Zahl nennen wir $h_{ij}$, die gemeinsame absolute Häufigkeit. Das „h“ steht für Häufigkeit, und „ij“ ist wie die Koordinate in unserer Tabelle – i für die Zeile und j für die Spalte.

Niklas: Also $h_{11}$ wäre dann die Zelle für „sportbegeistert“ und „männlich“.

Mia: Perfekt. Und wenn wir dann alle Häufigkeiten einer Zeile zusammenzählen, bekommen wir die sogenannte Randhäufigkeit. Also wie viele Leute insgesamt sportbegeistert sind, egal welches Geschlecht. Dasselbe machen wir für die Spalten.

Niklas: Lass uns das mal an einem echten Beispiel festmachen. Diese theoretischen Tabellen sind eine Sache, aber Zahlen aus der echten Welt eine andere.

Mia: Sehr gerne. Nehmen wir doch mal offizielle Daten vom Statistischen Bundesamt, zum Beispiel den Bevölkerungsstand in Deutschland nach Geschlecht und Altersgruppen.

Niklas: Okay, das sind ja zwei klassische Merkmale: Alter und Geschlecht.

Mia: Genau. Wir haben in den Zeilen die Altersgruppen – unter 15, 15 bis 30 und so weiter. Und in den Spalten haben wir „Männlich“ und „Weiblich“. In den Zellen steht dann die Anzahl der Menschen in Tausend.

Niklas: Ich sehe hier zum Beispiel in der Zeile „unter 15“ und der Spalte „Männlich“ die Zahl 5.594,1. Das bedeutet also, es gab rund 5,6 Millionen Jungen unter 15 Jahren.

Mia: Korrekt. Und in der gleichen Zeile, aber in der Spalte „Weiblich“, stehen 5.287,1 – also knapp 5,3 Millionen Mädchen. Wenn wir die beiden zusammenzählen, erhalten wir die Randhäufigkeit für diese Altersgruppe: 10.881,2, also rund 10,9 Millionen Menschen unter 15 insgesamt.

Niklas: Das ist wirklich super übersichtlich. Man sieht sofort, wo die Schwerpunkte liegen. Zum Beispiel, dass in der Altersgruppe 75 und älter deutlich mehr Frauen als Männer leben.

Mia: Siehst du? Die Tabelle macht Muster auf einen Blick sichtbar, die in einer langen Liste völlig untergehen würden.

Niklas: Die absoluten Zahlen sind beeindruckend, aber manchmal will man ja Anteile vergleichen, oder? Prozente sind oft griffiger als Millionen.

Mia: Völlig richtig. Und dafür nutzen wir die relativen Häufigkeiten. Wir teilen einfach jede Zahl in unserer Tabelle durch die Gesamtzahl aller Personen, also N. Dann bekommen wir die gemeinsamen relativen Häufigkeiten, $f_{ij}$.

Niklas: Okay, lass uns das mal mit einem einfacheren Beispiel machen. Dein Beispiel mit der Fußballbegeisterung. Zehn Studierende wurden befragt, ob sie Hansa-Rostock-Fans sind oder nicht.

Mia: Ein schönes norddeutsches Beispiel. Nehmen wir an, von den zehn Studierenden ist eine Person weiblich und Hansa-Fan. Die absolute Häufigkeit ist 1. Die relative Häufigkeit ist dann $1/10 = 0,1$ oder 10 Prozent.

Niklas: Verstehe. 10 % der gesamten Gruppe sind weibliche Hansa-Fans. Aber jetzt kommt die Frage, die mich wirklich interessiert: Wie hoch ist der Anteil der Hansa-Fans *innerhalb* der weiblichen Gruppe? Das ist doch was anderes, oder?

Mia: Das ist die entscheidende Frage und führt uns direkt zur bedingten Häufigkeit. Du stellst eine Bedingung. Du schaust dir nicht mehr alle zehn Leute an, sondern nur noch die Frauen. Sagen wir, es waren insgesamt fünf Frauen in der Gruppe.

Niklas: Also eine von fünf Frauen ist Hansa-Fan. Das wären dann 20 Prozent.

Mia: Genau! Und das ist die bedingte relative Häufigkeit. Man schreibt das als $f( ext{ja} / ext{w})$, also die Häufigkeit von „Fan: ja“ unter der Bedingung „Geschlecht: weiblich“. Die Formel dafür ist einfach: Man teilt die gemeinsame Häufigkeit $h_{ij}$ durch die jeweilige Randhäufigkeit. In unserem Fall also $1$ geteilt durch $5$.

Niklas: Okay, das ist ein mächtiges Werkzeug. Denn jetzt können wir ja Dinge vergleichen. Zum Beispiel den Anteil der Fans bei den Frauen mit dem Anteil der Fans bei den Männern.

Mia: Exakt! Und wenn diese Anteile sehr unterschiedlich sind, dann deutet das auf einen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen hin. Wenn zum Beispiel 20 % der Frauen Fans sind, aber 80 % der Männer, dann scheint es da eine Verbindung zu geben. Aber was wäre, wenn die Anteile gleich wären?

Niklas: Wenn sagen wir mal 30 % der Frauen und 30 % der Männer Fans sind... dann scheint das Geschlecht ja keine Rolle für die Fußballbegeisterung zu spielen. Die beiden Merkmale wären... unabhängig?

Mia: Besser hätte ich es nicht sagen können. Das ist genau die Definition von Unabhängigkeit in der Statistik. Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn die bedingten Häufigkeiten gleich der Randhäufigkeit sind. Also wenn $f(x_i / y_j) = f_X(x_i)$ gilt.

Niklas: Übersetzt heißt das: Die Information über das Geschlecht ändert nichts an meiner Vorhersage, ob jemand Fan ist oder nicht.

Mia: Perfekt zusammengefasst. Und daraus folgt eine ganz wichtige Regel: Bei Unabhängigkeit ist die gemeinsame relative Häufigkeit einfach das Produkt der beiden einzelnen Randhäufigkeiten. Also: $f(x_i, y_j) = f_X(x_i) ext{ mal } f_Y(y_j)$.

Niklas: Ah, das können wir ja mit dem Hansa-Beispiel testen! Die gemeinsame Häufigkeit von „ja“ und „weiblich“ war 0,1. Die Randhäufigkeit von „ja“ war 0,3 und von „weiblich“ war 0,5. Und $0,3 ext{ mal } 0,5$ ist 0,15.

Mia: Und 0,1 ist eben nicht 0,15. Die Merkmale sind also nicht unabhängig. Es gibt einen Zusammenhang.

Niklas: In der Praxis wird diese Gleichheit ja wahrscheinlich nie exakt aufgehen, oder? Da gibt es doch immer kleine Abweichungen.

Mia: Genau. Deshalb vergleicht man die beobachteten Häufigkeiten – also das, was wir wirklich gezählt haben – mit den sogenannten erwarteten Häufigkeiten.

Niklas: Erwartet? Was erwartet wer?

Mia: Gute Frage! „Erwartet“ bedeutet hier: Was würden wir erwarten, wenn die Merkmale komplett unabhängig wären? Man berechnet also eine fiktive Tabelle, in der alles perfekt unabhängig ist.

Niklas: Und wie berechne ich diese erwarteten Werte? Zauberei?

Mia: Fast! Die Formel ist erstaunlich simpel. Die erwartete Häufigkeit für eine Zelle, $h_{ij}^e$, berechnet sich so: Nimm die Randhäufigkeit der Zeile, mal die Randhäufigkeit der Spalte, und teile das Ganze durch die Gesamtanzahl N. Also $h_{ij}^e = (h_{i.} ext{ mal } h_{.j}) / N$.

Niklas: Ah, logisch. Das ist quasi die Unabhängigkeits-Regel für relative Häufigkeiten, nur wieder auf die absoluten Zahlen zurückgerechnet.

Mia: Genau. Und jetzt kommt der Clou: Je stärker unsere beobachteten Werte von diesen erwarteten Werten abweichen, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen den Merkmalen.

Niklas: Okay, und wie messe ich diese Abweichung? Einfach die Differenz bilden?

Mia: Fast. Wir machen es etwas schlauer, damit sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig aufheben. Wir berechnen für jede Zelle die Differenz $(h_{ij}^o - h_{ij}^e)$, quadrieren sie und teilen sie durch die erwartete Häufigkeit $h_{ij}^e$. Das verhindert auch, dass Abweichungen in großen Zellen zu viel Gewicht bekommen.

Niklas: Puh, das klingt nach viel Rechenarbeit. Für jede Zelle...

Mia: Ist es auch. Aber am Ende summieren wir all diese Werte auf. Das Ergebnis ist eine einzige Zahl, die man Chi-Quadrat nennt, geschrieben als $\chi^2$. Ein großes Chi-Quadrat bedeutet eine große Abweichung von der Unabhängigkeit, also einen starken Zusammenhang.

Niklas: Und ein Chi-Quadrat nahe Null bedeutet...?

Mia: ...dass die beobachteten Werte sehr nah an den erwarteten Werten liegen. Die Merkmale sind also quasi unabhängig.

Niklas: Okay, Chi-Quadrat ist also unser Maß für die Stärke des Zusammenhangs. Aber die Zahl selbst ist ja schwer zu interpretieren. Ist ein $\chi^2$ von 50 jetzt viel oder wenig?

Mia: Richtig, der Wert hängt von der Größe der Tabelle und der Anzahl der Beobachtungen ab. Deshalb normiert man ihn oft noch. Man berechnet daraus den sogenannten Kontingenzkoeffizienten C. Die Formel ist $C = ext{Wurzel aus } (\chi^2 / (N + \chi^2))$.

Niklas: Und diese Zahl kann ich dann besser interpretieren?

Mia: Ja, dieser Wert liegt zwischen 0 und einem Wert nahe 1. Null bedeutet wieder perfekte Unabhängigkeit. Je näher der Wert an 1 rückt, desto stärker ist der Zusammenhang. Das ist dann ein schönes, standardisiertes Maß, das uns sagt, wie eng zwei nominale Merkmale miteinander verknüpft sind.

Niklas: Super! Also vom Zählen einfacher Kombinationen bis zu einer konkreten Kennzahl für den Zusammenhang. Das war ein großer Sprung, aber sehr logisch aufgebaut.

Niklas: Okay, das war eine Menge Stoff. Aber wir haben noch ein letztes Thema für heute, oder?

Mia: Ja, das Finale! Den Kontingenzkoeffizienten. Der misst, wie stark zwei Merkmale zusammenhängen.

Niklas: Klingt nützlich. Aber ich ahne, es gibt einen Haken.

Mia: Du kennst mich zu gut. Der normale Koeffizient erreicht nie den Maximalwert 1. Das macht Vergleiche schwierig.

Niklas: Und wie lösen wir das Problem? Gibt's da einen Trick?

Mia: Es gibt eine Formel, natürlich! Wir berechnen den korrigierten Kontingenzkoeffizienten, C-korr. Die Formel sieht wild aus, ist aber simpel.

Niklas: Okay, wie funktioniert's?

Mia: Man nimmt den normalen Wert C und multipliziert ihn mit einer Wurzel. Darin teilt man die kleinere Zahl von Zeilen oder Spalten durch sich selbst minus eins.

Niklas: Lass uns das mal an unserem Beispiel durchrechnen.

Mia: Genau. Unser Chi-Quadrat war ja ungefähr 0,48. Daraus ergibt sich ein C-Wert von circa 0,21.

Niklas: Und wir hatten ja eine 2x2-Tabelle, also zwei Zeilen und zwei Spalten. Das Minimum ist also 2.

Mia: Perfekt! Also rechnen wir 0,21 mal die Wurzel aus 2 durch 1. Das ergibt am Ende rund 0,30.

Niklas: Und was sagt uns dieser Wert jetzt?

Mia: Ein Wert von 0,30 zeigt einen eher schwachen Zusammenhang. Jetzt ist der Wert aber fair und vergleichbar!

Niklas: Das war wirklich ein super wichtiger letzter Punkt. Man muss also oft korrigieren, um Äpfel mit Äpfeln zu vergleichen.

Mia: Das ist die Kernaussage. Nicht nur hier, sondern in der gesamten Statistik.

Niklas: Puh, das war's für heute bei Studyfi. Danke, Mia, für die tollen Erklärungen.

Mia: Sehr gerne! Und danke euch fürs Zuhören. Bleibt neugierig!

Niklas: Macht's gut und bis zum nächsten Mal!