Zusammenfassung von Deskriptive Statistik: Univariate Datenanalyse

## Einführung In diesem Lernmodul behandeln wir zentrale Konzepte der deskriptiven Statistik rund um Summenhäufigkeiten, die empirische Verteilungsfunktion und Quantile. Ziel ist, die Begriffe formal zu verstehen, graphisch zu interpretieren und praktisch anzuwenden. Die Inhalte sind so aufbereitet, dass Sie sie für Datenanalyse, Interpretation von Verteilungen und Entscheidungshilfen in Alltagsbeispielen nutzen können. > Definition: Die **empirische Verteilungsfunktion** $F(x)$ gibt für jedes $x$ den Anteil der Beobachtungen an, deren Merkmalsausprägung kleiner oder gleich $x$ ist. ## 1. Summenhäufigkeiten (kumulative Häufigkeiten) ### 1.1 Absolute und relative Summenhäufigkeit - Absolute Summenhäufigkeit: $H_i = \sum_{j=1}^{i} h_j$, wobei $h_j$ die absolute Häufigkeit der $j$-ten Ausprägung ist. - Relative Summenhäufigkeit: $F_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$, wobei $f_j$ die relative Häufigkeit der $j$-ten Ausprägung ist. > Definition: Die **Summenhäufigkeit** zeigt kumulativ, wie viele Beobachtungen bis zu einer bestimmten Ausprägung erreicht sind. ### 1.2 Beispiel (Kinderanzahl) - Beobachtung: 6 Frauen, Anzahl Kinder je Frau. Absolute Häufigkeiten: $h_1=1$, $h_2=1$, $h_3=3$, $h_4=1$ für $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$, $x_4=3$. - Absolute Summenhäufigkeiten: $H_1=1$, $H_2=2$, $H_3=5$, $H_4=6$. - Relative Häufigkeiten: $f_i = h_i / N$ mit $N=6$: $f_1\approx 0{,}167$, $f_2\approx 0{,}167$, $f_3=0{,}500$, $f_4\approx 0{,}167$. - Relative Summenhäufigkeiten: $F_1\approx 0{,}167$, $F_2\approx 0{,}333$, $F_3\approx 0{,}833$, $F_4=1{,}000$. ### 1.3 Empirische Verteilungsfunktion (diskret) Die empirische Verteilungsfunktion für die $k$ verschiedenen Merkmalsausprägungen $x_1<\dots<x_k$ ist definiert durch $$ F(x)=\begin{cases}0 & \text{für } x < x_1 \\ F_i & \text{für } x_i \leqslant x < x_{i+1} \\ 1 & \text{für } x \geqslant x_k \end{cases} $$ Diese stückweise konstante Funktion ist in der Praxis oft Ausgangspunkt für grafische Darstellungen (Treppenfunktion). ## 2. Empirische Verteilungsfunktion: Interpretation und Anwendung - Gibt für jeden Wert $x$ den Anteil der Beobachtungen an, die höchstens $x$ haben. - Erlaubt direktes Ablesen von Quantilen und Medianen. > Definition: Das **p‑Quantil** $x_p$ ist das kleinste $x$, für das $F(x) \ge p$ gilt. ### 2.1 Median und Quartile - Median: $x_{0{,}5}$ ist das 0{,}50-Quantil (zentraler Lageparameter). - Quartile: $Q_0 = x_{0{,}0}$ (Minimum), $Q_1 = x_{0{,}25}$, $Q_2 = x_{0{,}50}$ (Median), $Q_3 = x_{0{,}75}$, $Q_4 = x_{1{,}00}$ (Maximum). Beispiel: Für die Kinderzahl ist $x_{0{,}5}=2$, weil $F(2)\ge 0{,}5$ und $2$ das kleinste solche $x$ ist. ### 2.2 Quantile in praktischen Anwendungen - Risikomanagement: $x_{0{,}95}$ zeigt Grenzwert, den 95% der Fälle nicht überschreiten. - Qualitätskontrolle: Schwellen bestimmen, bei denen ein bestimmter Anteil der Produkte unterhalb eines Maßes liegt. - Betriebswirtschaft: Bestimmen typischer Nachfragewerte (z. B. an 80% der Tage wurden höchstens $x_{0{,}8}$ Zeitungen verkauft). Fun fact: Wusstest du, dass die empirische Verteilungsfunktion unabhängig von einer Annahme über die zugrundeliegende Verteilungsfamilie ist und damit eine nichtparametrische Beschreibung der Daten liefert? ## 3. Lineare Interpolation für klassifizierte oder stetig angenäherte Verteilungen > Definition: **Lineare Interpolation** schätzt Werte zwischen zwei bekannten Punkten durch eine lineare Funktion. - Gegeben zwei Punkte $(a_1,b_1)$ und $(a_2,b_2)$, definiert die lineare Funktion $f$ auf $[a_1,a_2]$ durch die Proportion $$ \frac{a^* - a_1}{a_2 - a_1} = \frac{f(a^*) - b_1}{b_2 - b_1}. $$ - Für die empirische Verteilungsfunktion bei klassifizierten Daten (wenn Daten innerhalb einer Klasse gleichverteilt angenommen werden), sind die Randwerte an Klassenenden gegeben und alle Zwischenwerte werden linear interpoliert. Formel für klassifizierte Daten: Für Klasse $i$ mit Untergrenze $x_i^{u}$, Obergrenze $x_i^{o}$, Klassenbreite $\Delta x_i = x_i^{o} - x_i^{u}$ und relativer Kla