Podcast über Deskriptive Statistik: Univariate Datenanalyse

Kapitoly

Einführung: Die ungezähmten Daten

Von der Urliste zur Häufigkeitstabelle

Die Macht der Visualisierung

Daten in Klassen einteilen

Ein Blick ins Detail: Interpolation

Die Summenhäufigkeitsfunktion

Quantile: Daten zerteilen

Wenn Daten unübersichtlich werden

Quantile für klassifizierte Daten

Zusammenfassung und Abschied

Přepis

Lukas: Stell dir vor, du betreibst einen kleinen Kiosk. 200 Tage lang schreibst du jeden Abend auf, wie viele Zeitungen du verkauft hast. An Tag eins waren es drei, an Tag zwei nur eine, an Tag drei keine... und so weiter. Am Ende hast du eine riesige, chaotische Liste mit 200 Zahlen. Was fängst du damit an?

Emilia: Genau diese Frage ist der Startpunkt der deskriptiven Statistik. Diese riesige, ungeordnete Liste ist das, was wir eine „Urliste“ nennen. Sie ist die Rohform unserer Daten – ehrlich, aber total unübersichtlich.

Lukas: Eine Urliste... klingt irgendwie... ursprünglich. Wie eine Einkaufsliste, bevor man sie nach Gängen im Supermarkt sortiert.

Emilia: Perfekter Vergleich! Und genau wie du deine Einkaufsliste sortierst, um nicht wie ein Verrückter durch den Laden zu rennen, bringen wir Ordnung in unsere Daten. Das ist der erste Schritt zur Erkenntnis.

Lukas: Und wie machen wir das? Ich will ja schließlich wissen, ob mein Kiosk gut läuft. Das ist der Studyfi Podcast, und heute bringen wir Ordnung ins Datenchaos mit dem Thema Häufigkeitsverteilungen.

Emilia: Absolut! Wir verwandeln diese ungezähmte Urliste in etwas Sinnvolles.

Lukas: Okay, Emilia. Wir haben also unsere Urliste vom Kiosk. 200 Zahlen, die mir erstmal nur Kopfschmerzen bereiten. Was jetzt?

Emilia: Jetzt zählen wir! Statt 200 einzelne Tage aufzulisten, fragen wir: An wie vielen Tagen haben wir denn *null* Zeitungen verkauft? An wie vielen Tagen *eine*? An wie vielen *zwei*? Und so weiter.

Lukas: Ah, wir bündeln die Ergebnisse. Wir schauen also nicht mehr auf jeden einzelnen Tag, sondern auf die möglichen Ausprägungen – also die Anzahl der verkauften Zeitungen.

Emilia: Exakt. Nehmen wir an, wir finden heraus, dass an 21 von den 200 Tagen gar keine Zeitung verkauft wurde. Diese 21 ist dann die **absolute Häufigkeit** für die Ausprägung „0 Zeitungen“.

Lukas: Okay, das ist die absolute Häufigkeit, also h_i. Aber ich sehe in den Unterlagen auch immer die **relative Häufigkeit**, f_i. Was ist der Unterschied?

Emilia: Ganz einfach: Die relative Häufigkeit setzt die absolute Zahl ins Verhältnis zum Ganzen. In unserem Beispiel teilst du einfach die 21 Tage durch die gesamten 200 Tage.

Lukas: 21 geteilt durch 200... das sind 0,105. Oder 10,5 Prozent. Das heißt, an 10,5 Prozent aller Tage habe ich nichts verkauft. Klingt irgendwie aussagekräftiger.

Emilia: Genau das ist es! Relative Häufigkeiten machen verschiedene Datensätze vergleichbar. Ob du nun 200 Tage oder 5000 Tage misst, die Prozentzahl gibt dir sofort ein Gefühl für die Verteilung. Wir erstellen daraus eine Tabelle: eine Spalte für die Anzahl der Zeitungen, eine für die absolute Häufigkeit und eine für die relative.

Lukas: Und zack, aus 200 unordentlichen Zahlen wird eine kleine, übersichtliche Tabelle. Das gefällt mir schon viel besser!

Lukas: Eine Tabelle ist super, aber ich bin eher ein visueller Typ. Kann man das auch irgendwie zeichnen?

Emilia: Aber hallo! Und das ist sogar extrem wichtig. Für solche Daten nehmen wir oft ein Stab- oder Säulendiagramm. Stell dir eine horizontale Achse vor, auf der du die Anzahl der verkauften Zeitungen einträgst: 0, 1, 2, 3 und so weiter.

Lukas: Okay, hab ich vor Augen.

Emilia: Und für jede dieser Zahlen zeichnest du jetzt eine Säule nach oben. Die Höhe der Säule entspricht genau der Häufigkeit – entweder der absoluten oder der relativen, das kannst du dir aussuchen.

Lukas: Also bei „2 Zeitungen“, was laut Tabelle an 54 Tagen der Fall war, wäre die Säule am höchsten. Und bei „7 Zeitungen“, was nie vorkam, gäbe es gar keine Säule.

Emilia: Genau so ist es! Du siehst auf einen Blick, was am häufigsten vorkommt und was selten ist. Dein Gehirn erfasst das Muster sofort, viel schneller als beim Lesen einer Tabelle. Das ist die Superkraft der Visualisierung.

Lukas: Die Säule bei 2 Zeitungen wäre also der Superstar in meinem Diagramm.

Emilia: Der Superstar oder der Bestseller, genau! So siehst du die Verteilung deiner Verkäufe auf einen Blick.

Lukas: Okay, das mit den Zeitungen ist klar. Aber was ist, wenn die Daten viel unordentlicher sind? Nehmen wir mal an, wir erfassen nicht die Anzahl, sondern den genauen Wert von 70 Gebrauchtwagen. Da hat doch jeder einen anderen Preis, 3450 Euro, 7120 Euro, 2330 Euro...

Emilia: Sehr guter Punkt! Da hättest du fast 70 verschiedene Ausprägungen. Ein Stabdiagramm mit 70 einzelnen, winzigen Säulen wäre nutzlos. Es wäre wieder nur Rauschen.

Lukas: Also zurück zum Chaos? Bitte nicht!

Emilia: Nein, keine Sorge! Dafür gibt es einen Trick: Wir **klassifizieren** die Daten. Wir fassen sie in Gruppen oder „Klassen“ zusammen. Zum Beispiel sagen wir: Alle Autos zwischen 1000 und 2000 Euro kommen in eine Klasse. Alle zwischen 2000 und 3000 in die nächste, und so weiter.

Lukas: Wir opfern also etwas Genauigkeit für mehr Übersichtlichkeit. Statt des exakten Preises weiß ich nur noch, in welchem Preis-Körbchen das Auto liegt.

Emilia: Exakt. Und wenn wir diese klassifizierten Daten visualisieren, verwenden wir ein **Histogramm**. Das sieht auf den ersten Blick aus wie ein Säulendiagramm, aber es gibt einen entscheidenden Unterschied.

Lukas: Und der wäre?

Emilia: Beim Histogramm stehen die Säulen direkt aneinander, weil sie ja nahtlose Preisbereiche abbilden. Und, ganz wichtig: Wenn die Klassen unterschiedlich breit sind – zum Beispiel eine Klasse von 5000 bis 7000 Euro und eine von 9000 bis 15000 Euro – dann repräsentiert die **Fläche** der Säule die Häufigkeit, nicht mehr nur die Höhe!

Lukas: Moment, das musst du erklären. Warum die Fläche?

Emilia: Stell dir vor, du hast 10 Autos in der Klasse von 5000 bis 7000 Euro, die ist 2000 Euro breit. Und 10 Autos in einer Klasse von 7000 bis 12000 Euro, die ist 5000 Euro breit. Wären die Säulen gleich hoch, sähe es so aus, als wäre die Dichte der Autos in beiden Bereichen gleich. Aber das stimmt nicht!

Lukas: Stimmt, im ersten Bereich drängen sich die 10 Autos auf 2000 Euro Breite, im zweiten haben sie 5000 Euro Platz. Die Dichte ist geringer.

Emilia: Genau! Deshalb passen wir die Höhe an. Die Höhe der Säule, f_i*, berechnet sich aus der relativen Häufigkeit f_i geteilt durch die Klassenbreite Δx_i. So wird sichergestellt, dass die Fläche proportional zur Häufigkeit ist und das Diagramm die Realität nicht verzerrt.

Lukas: Okay, das mit dem Histogramm und den Flächen hab ich verstanden. Aber wenn ich meine Daten so in Klassen gestopft habe, verliere ich ja Informationen. Ich weiß zum Beispiel, dass 16 Autos zwischen 3000 und 4000 Euro wert sind, aber nicht, wo genau.

Emilia: Das ist der Preis, den wir für die Übersichtlichkeit zahlen. Aber wir können eine fundierte Schätzung abgeben, und zwar mit der **linearen Interpolation**.

Lukas: Klingt kompliziert. Entschuldigung.

Emilia: Ist es gar nicht. Die Grundannahme ist ganz einfach: Wir tun so, als wären die Daten innerhalb einer Klasse gleichmäßig verteilt. Wie Perlen auf einer Schnur.

Lukas: Eine Annahme also, die nicht stimmen muss, aber eine gute Annäherung ist?

Emilia: Genau. Mit dieser Annahme können wir zum Beispiel schätzen, wie viel Prozent der Autos unter einem Wert von 3500 Euro liegen. Wir wissen ja, wie viele unter 3000 liegen und wie viele in der Klasse von 3000 bis 4000. Da 3500 genau in der Mitte dieser Klasse liegt, schätzen wir, dass auch die Hälfte der Autos aus dieser Klasse unter 3500 liegt.

Lukas: Ah, wir ziehen also quasi eine gerade Linie durch die Klasse und können so Zwischenwerte ablesen. Das ist ja clever.

Emilia: Das ist es. Die Formel dafür sieht vielleicht erstmal abschreckend aus, aber die Idee dahinter ist genau das: eine gerade Linie zwischen dem Anfangs- und Endpunkt der kumulierten Häufigkeit einer Klasse ziehen. So können wir aus unseren gruppierten Daten wieder spezifischere Schätzungen gewinnen.

Lukas: Super, das macht Sinn. Von der chaotischen Urliste über die geordnete Tabelle bis hin zum aussagekräftigen Histogramm. Damit haben wir unsere Daten wirklich gezähmt!

Lukas: Wow, also das war wirklich ein tiefer Einblick in die Lage- und Streuungsmaße. Ich glaube, Mittelwert, Median und Varianz habe ich jetzt verstanden.

Emilia: Super! Das sind ja auch die absoluten Grundlagen. Aber wir sind noch nicht ganz fertig damit, wie wir unsere Daten beschreiben können. Es gibt noch ein paar sehr nützliche Werkzeuge.

Lukas: Oh, da kommt noch mehr? Ich dachte, wir hätten jetzt alles zerlegt, was man zerlegen kann.

Emilia: Fast! Aber jetzt setzen wir die Teile wieder zusammen. Wir schauen uns an, wie sich Häufigkeiten summieren und wie wir Daten in nützliche Abschnitte einteilen können. Das ist super praktisch, versprochen.

Lukas: Okay, Häufigkeiten summieren... das klingt nach der Summenhäufigkeitsfunktion, richtig?

Emilia: Genau getroffen! Man nennt sie auch die empirische Verteilungsfunktion. Die Idee ist wirklich einfach: Statt zu fragen „Wie viele Frauen haben genau 2 Kinder?“, fragen wir: „Wie viele Frauen haben HÖCHSTENS 2 Kinder?“

Lukas: Ah, wir addieren also alles bis zu einem bestimmten Punkt auf. Also die Frauen mit 0 Kindern, plus die mit einem Kind, plus die mit zwei Kindern.

Emilia: Exakt. Du kumulierst die Häufigkeiten. Stell dir eine Treppe vor. Für jede neue Merkmalsausprägung – also zum Beispiel ein Kind mehr – gehst du eine Stufe nach oben.

Lukas: Okay, eine Treppenfunktion. Das kann ich mir vorstellen. Nehmen wir mal dein Beispiel mit den sechs Rostocker Frauen und ihrer Kinderzahl.

Emilia: Gerne. Also, wir hatten eine Frau mit null Kindern, das sind rund 17 Prozent. Die erste Stufe der Treppe liegt also bei 0,167.

Lukas: Und dann kam noch eine Frau mit einem Kind dazu, also nochmal 17 Prozent. Dann springt die Treppe bei „einem Kind“ auf 0,333 hoch, also 33 Prozent?

Emilia: Genau! Die Funktion macht einen Sprung nach oben. Und bei zwei Kindern hatten wir ja drei Frauen, also 50 Prozent. Die springt dann von 0,333 auf 0,833. Das ist ein großer Sprung.

Lukas: Und am Ende, bei der höchsten Kinderzahl, muss die Summe dann immer 1 oder 100 Prozent ergeben, korrekt?

Emilia: Das muss sie! Wenn du alle Datenpunkte erfasst hast, hast du 100 Prozent der Verteilung abgedeckt. Diese Treppenfunktion ist super, um schnell abzulesen, welcher Anteil der Daten unter einem bestimmten Wert liegt.

Lukas: Okay, die Summenfunktion ist also wie ein „Aufwärtszähler“. Was kommt als Nächstes?

Emilia: Jetzt drehen wir die Frage um. Statt zu fragen „Welcher Anteil liegt unter dem Wert X?“, fragen wir: „Welcher Wert trennt die unteren 25 Prozent der Daten vom Rest?“

Lukas: Ah, wir suchen also die Markierung, nicht den Prozentsatz. Und das sind dann die Quantile?

Emilia: Ja, genau das sind Quantile! Ein p-Quantil, zum Beispiel ein 0,25-Quantil, ist der Wert, unter dem 25 Prozent aller deiner Datenpunkte liegen.

Lukas: Klingt ein bisschen wie der Median. Der teilt ja auch alles in 50-50 auf.

Emilia: Sehr gut beobachtet! Der Median ist tatsächlich das berühmteste Quantil. Es ist das 0,5-Quantil oder auch das zweite Quartil. Er teilt die Daten genau in der Mitte.

Lukas: Quartil? Das klingt wie eine Einheit aus einem Videospiel. „Sammle vier Quartile, um das Level abzuschließen!“

Emilia: Kannst du dir so merken! Quartile teilen die Daten in vier gleich große Viertel. Q1 ist das 25-Prozent-Quantil, Q2 ist der Median bei 50 Prozent, und Q3 ist das 75-Prozent-Quantil.

Lukas: Verstehe. Minimum und Maximum sind dann Q0 und Q4. Das gibt mir also fünf Zahlen, die mir eine schnelle Übersicht über die gesamte Verteilung geben.

Emilia: Richtig. Das ist die Grundlage für den sogenannten Boxplot, aber das ist ein Thema für ein andermal. Lass uns bei den Beispielen bleiben. Zurück zu den Rostocker Frauen. Wo liegt der Median, also das 0,5-Quantil?

Lukas: Okay, ich schaue auf die Summenhäufigkeit. Nach zwei Kindern sind wir schon bei 83,3 Prozent. Die 50-Prozent-Marke muss also bei „zwei Kindern“ überschritten worden sein. Der Wert ist also 2.

Emilia: Perfekt! Die Hälfte der Frauen haben höchstens zwei Kinder. Und beim Zeitungs-Beispiel: An 80 Prozent der Tage werden bis zu wie viele Zeitungen verkauft? Wir suchen also das 0,80-Quantil.

Lukas: Ich schaue wieder auf die Tabelle... bei 2 Zeitungen sind wir bei 60,5 Prozent. Bei 3 Zeitungen springt die Summe auf 80,5 Prozent. Die 80-Prozent-Marke wird also bei 3 Zeitungen geknackt. Antwort: 3.

Emilia: Du hast es! Siehst du, Quantile sind super, um solche Fragen zu beantworten. „Die ärmsten 10 Prozent verdienen…“ oder „Die schnellsten 5 Prozent laufen…“. Das sind alles Quantile.

Lukas: Das funktioniert ja super, solange ich nicht zu viele verschiedene Werte habe, wie bei Kinderanzahl oder Zeitungen. Aber was ist, wenn ich zum Beispiel das Gehalt von 1000 Leuten habe? Da hat ja fast jeder einen anderen Wert.

Emilia: Eine exzellente Frage, Lukas. Genau da stoßen wir an eine Grenze. Eine Häufigkeitstabelle mit 800 verschiedenen Gehältern wäre nutzlos. Und hier kommt die Klassifizierung von Daten ins Spiel.

Lukas: Klassifizierung? Also Daten in Schubladen stecken?

Emilia: Genau das! Statt jeden einzelnen Wert zu betrachten, fassen wir sie zu Klassen zusammen. Zum Beispiel alle Gehälter von „über 2000 bis 2500 Euro“.

Lukas: Das macht die Sache natürlich viel übersichtlicher. Aber... verliere ich da nicht Informationen? Ich weiß ja dann nicht mehr, ob jemand 2001 Euro oder 2499 Euro verdient.

Emilia: Das ist der entscheidende Punkt. Ja, du verlierst Information. Das ist der Kompromiss. Wir tauschen Genauigkeit gegen Übersichtlichkeit. Man nimmt dann an, dass die Werte innerhalb einer Klasse gleichmäßig verteilt sind.

Lukas: Eine Annahme also. Aber die Vorteile liegen auf der Hand: Es ist einfacher darzustellen und zu analysieren. Und wahrscheinlich auch besser für den Datenschutz, weil man nicht mehr auf Einzelpersonen schließen kann.

Emilia: Genau, das sind die drei Hauptgründe: Vereinfachung, leichtere Analyse und Datenschutz. Wir definieren dann für jede Klasse eine Unter- und eine Obergrenze und eine Klassenbreite. Beim Gehaltsbeispiel war die Breite konstant bei 500 Euro.

Lukas: Und wie stellt man das dann dar? Wahrscheinlich nicht mehr mit einem einfachen Säulendiagramm, oder?

Emilia: Richtig. Dafür nimmt man ein Histogramm. Hier ist nicht die Höhe der Säule entscheidend, sondern die Fläche. Wenn alle Klassen gleich breit sind, sieht es aus wie ein Säulendiagramm, aber wenn die Breiten variieren, wird die Fläche proportional zur Häufigkeit angepasst. Sehr wichtig!

Lukas: Okay, die Daten sind jetzt in Klassen. Schöne, ordentliche Schubladen. Aber wie finde ich jetzt mein Quantil? Sagen wir, ich will wissen, was die unteren 70 Prozent der Beschäftigten höchstens verdienen.

Emilia: Das ist die Königsdisziplin. Weil wir die exakten Werte nicht mehr haben, können wir das Quantil nicht einfach ablesen. Wir müssen es schätzen.

Lukas: Schätzen? Ohje, das klingt nach einer komplizierten Formel.

Emilia: Sie sieht auf den ersten Blick etwas abschreckend aus, aber die Logik dahinter ist total simpel. Denk dran: Wir nehmen an, die Daten sind innerhalb einer Klasse gleichmäßig verteilt.

Lukas: Okay, die Gleichverteilungsannahme... ich erinnere mich.

Emilia: Also, der erste Schritt ist, die richtige Klasse zu finden. In unserem Gehaltsbeispiel: Wo liegt die 70-Prozent-Marke?

Lukas: Mal sehen… die Klasse „über 2000 bis 2500“ endet bei einer Summenhäufigkeit von 65 Prozent. Die nächste Klasse, „über 2500 bis 3000“, endet bei 81,6 Prozent. Die 70 Prozent müssen also irgendwo in dieser Klasse liegen.

Emilia: Korrekt! Wir wissen also schon mal: Das Gehalt muss zwischen 2500 und 3000 Euro liegen. Jetzt kommt der zweite Schritt: Wie weit müssen wir in diese Klasse hineingehen?

Lukas: Okay, und wie finde ich das raus?

Emilia: Wir starten an der Untergrenze der Klasse, also bei 2500 Euro. Bis dorthin haben wir 65 Prozent der Leute abgedeckt. Wir brauchen aber 70 Prozent, uns fehlen also noch 5 Prozentpunkte.

Lukas: Verstehe. Wir müssen also so weit in die Klasse reingehen, bis wir diese 5 Prozentpunkte eingesammelt haben.

Emilia: Exakt! Und jetzt kommt die Formel ins Spiel, die genau das berechnet. Man nimmt den fehlenden Prozentsatz, teilt ihn durch die Gesamtprozentzahl dieser Klasse und multipliziert das mit der Klassenbreite.

Lukas: Also in unserem Fall: 5 Prozent, die uns fehlen, geteilt durch die 16,7 Prozent, die insgesamt in der Klasse sind… das Ergebnis mal die 500 Euro Klassenbreite.

Emilia: Genau. Das ergibt dann ungefähr 150 Euro. Diese 150 Euro addieren wir zur Untergrenze von 2500 Euro. Und wir landen bei 2650 Euro.

Lukas: Wow. Okay, das ist gar nicht so magisch. Man findet die richtige Schublade und rechnet dann aus, wie tief man in die Schublade greifen muss. Klingt machbar.

Emilia: Es ist reine lineare Interpolation. Think of it this way: Du gehst einen bestimmten Prozentsatz des Weges in die Klasse hinein. So kannst du für jeden beliebigen Prozentsatz einen ziemlich genauen Schätzwert finden.

Lukas: Puh, das war eine Menge, Emilia. Aber ich glaube, das Bild wird jetzt rund. Wir haben von einzelnen Häufigkeiten über aufsummierte Häufigkeiten bis hin zu Daten in Schubladen alles abgedeckt.

Emilia: Ja, und das ist der Kern der deskriptiven Statistik. Es geht darum, einen unübersichtlichen Haufen von Zahlen in eine verständliche Geschichte zu verwandeln. Mit den richtigen Kennzahlen und Grafiken.

Lukas: Der Schlüssel ist also, erstmal zu verstehen, was man überhaupt hat. Einzelne Werte? Oder eine riesige Datenmenge, die man besser klassifiziert? Und dann die richtigen Werkzeuge auspacken.

Emilia: Genau. Die Summenhäufigkeitsfunktion zeigt dir das Wachstum, die Quantile zerlegen deine Daten in handliche Stücke, und die Klassifizierung schafft Ordnung im Chaos. Jedes Werkzeug hat seinen Zweck.

Lukas: Ein super Überblick. Damit haben wir die deskriptive Statistik wirklich gut im Kasten. Vielen Dank, Emilia, für die ganzen Erklärungen!

Emilia: Sehr gerne, Lukas! Es ist wichtig, diese Grundlagen zu beherrschen, denn darauf baut später alles andere auf. Keine Angst vor den Formeln, wichtig ist, die Idee dahinter zu verstehen.

Lukas: Das war ein perfektes Schlusswort. Und damit sind wir auch am Ende unserer heutigen Folge. Wir hoffen, ihr konntet eine Menge mitnehmen. Schaltet auch beim nächsten Mal wieder ein, wenn es heißt: Studyfi Podcast.

Emilia: Macht's gut und bis bald!

Lukas: Ciao!