Zusammenfassung von Arbeitsvertrag: Pflichten und Entgelt in Österreich

## Einführung Eine **Zahlenreihe** ist eine Folge von Zahlen, bei der oft ein Muster oder eine vorgeschriebene Rekursionsregel besteht. In der Mathematik und ihren Anwendungen untersucht man Eigenschaften wie Konvergenz, Summenformeln und Wachstumsverhalten. > Definition: Eine Zahlenreihe ist eine geordnete Sequenz von Zahlen $a_1, a_2, a_3,\dots$ mit einer gegebenen Regel zur Bestimmung der Glieder. ## Grundbegriffe ### Folge vs. Reihe - Eine **Folge** ist eine Aufzählung von Elementen $a_1, a_2, a_3,\dots$. - Eine **Reihe** kann auch als Summe von Folgengliedern betrachtet werden, z.B. die unendliche Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. > Definition: Eine unendliche Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge, $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$; ihr Verhalten wird durch Partialsummen $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ charakterisiert. ### Monotonie und Beschränktheit - Eine Folge ist **monoton wachsend**, wenn $a_{n+1} \ge a_n$ für alle $n$. - Eine Folge ist **monoton fallend**, wenn $a_{n+1} \le a_n$ für alle $n$. - Eine Folge ist **beschränkt**, wenn es $M>0$ mit $|a_n| \le M$ für alle $n$ gibt. ## Konvergenz von Zahlenreihen - Eine Folge $a_n$ konvergiert gegen $L$, falls für jedes $\epsilon>0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n\ge N$ gilt $|a_n-L|<\epsilon$. > Definition: $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ bedeutet, dass die Folge $a_n$ gegen den Grenzwert $L$ konvergiert. ### Wichtige Tests für Reihen - **Cauchy-Kriterium**: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h. für jedes $\epsilon>0$ existiert $N$ mit $|a_n-a_m|<\epsilon$ für alle $n,m\ge N$. - **Leibniz-Kriterium** (wechselnde Reihen): Eine alternierende Reihe $\sum (-1)^{n} b_n$ konvergiert, falls $b_n$ monoton fallend ist und $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$. - **Vergleichskriterium**: Für positive Reihen: Falls $0\le a_n \le b_n$ für hinreichend großes $n$ und $\sum b_n$ konvergiert, dann konvergiert auch $\sum a_n$. - **Quotientenkriterium (d'Alembert)**: Sei $L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Wenn $L<1$, konvergiert die Reihe absolut; wenn $L>1$, divergiert sie; wenn $L=1$, ist kein Ergebnis allgemein möglich. ## Absolute und bedingte Konvergenz - Eine Reihe $\sum a_n$ ist **absolut konvergent**, wenn $\sum |a_n|$ konvergiert. - Eine Reihe ist **bedingt konvergent**, wenn $\sum a_n$ konvergiert, aber $\sum |a_n|$ divergiert. Tabelle: Vergleich wichtiger Konvergenzarten | Eigenschaft | Bedingung | Folge/Beispiel | |---|---:|---| | Absolut konvergent | $\sum |a_n|$ konvergiert | $\sum \frac{1}{n^2}$ | | Bedingt konvergent | $\sum a_n$ konvergiert, $\sum |a_n|$ divergiert | $\sum (-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ | | Divergent | Partialsummen sind unbeschränkt oder oszillieren | $\sum 1$ | ## Wichtige Zahlenreihen und Formeln 1. Harmonische Reihe: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$ Diese Reihe divergiert. 2. p-Reihe: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$ Konvergenz genau für $p>1$. 3. Geometrische Reihe: $$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$ Konvergiert für $|r|<1$ mit Summe $$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$$ 4. Exponentialreihe (Taylor von $e^x$): $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ Konvergiert für alle $x\in\mathbb{R}$. ## Praktische Beispiele und Anwendungen - Numerische Summation: Abschätzung von Restgliedern bei truncierten Reihen mithilfe von Majoranten. - Physik: Fourierreihen und Potenzreihen zur Beschreibung periodischer Signale oder Potentialfelder. - Analysis: Reihenentwicklungen von Funktionen (Taylor- und Laurentreihen) zur Näherung und analytischen Fortsetzung. Beispiel: Abschätzung der Restsumme bei einer p-Reihe mit $p>1$: Für $R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ gilt für $p>1$ durch Vergleich mit einem Integral: $$\int_{N+1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx \le R_N \le \int_{N}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$$ Das ergibt $$\frac{(N+1)^{1-p}}{p-1} \le R_N \le \frac{N^{1-p}}{p-1}$$ ## Rechenregeln und Techniken - Lineare Kombinationen: Wenn $\sum a_n$ und $\sum b_n$ konvergieren, dann konverg