Shrnutí na Základy statistických metod

## Úvod Korelace a regresní analýza pomáhají zjistit, jak spolu souvisí dvě proměnné a jak jednu z nich použít pro odhad druhé. Tento materiál vysvětlí, co znamená korelační koeficient, jak interpretovat jeho hodnoty, kdy korelace neznamená příčinnost, a ukáže praktické kroky testování hypotéz (F-test, t-test) a práce se scatterploty včetně využití regresní přímky pro predikce. > **Definice:** Korelační koeficient udává míru lineárního vztahu mezi dvěma proměnnými a nabývá hodnot v rozmezí $-1$ až $1$. ## Korelační koeficient: základ ### Co měří korelace - Znaménko určuje směr vztahu: kladné (+) nebo záporné (-). - Absolutní velikost udává „těsnost“ lineárního vztahu. > **Definice:** Pokud je korelační koeficient blízko $0$, lineární vztah je zanedbatelný; pokud je blízko $\pm 1$, vztah je velmi těsný. ### Interpretace velikosti korelace - do $0{,}2$ – zanedbatelný - $0{,}2$ až $0{,}4$ – nepříliš těsný - $0{,}4$ až $0{,}7$ – středně těsný - $0{,}7$ až $0{,}9$ – těsný vztah - od $0{,}9$ – extrémně těsný (platí i pro záporné hodnoty) ### Příklady směrů vztahu - Záporný vztah: více času u televize 🡪 horší studijní výsledky. - Kladný vztah: vyšší vzdělání 🡪 vyšší plat. Did you know that vysoká korelace nemusí znamenat příčinnost; může pouze naznačovat dobrý prediktor jedné proměnné pomocí druhé? Fun fact: Pokud naměříme korelaci $0{,}996$, jedná se o extrémně těsný kladný lineární vztah, ale stále to nemusí potvrdit příčinný vztah mezi proměnnými. ## Korelační matice - Korelační matice ukazuje párové korelace pro více proměnných najednou. - Hodí se pro rychlý přehled, které proměnné jsou silně spojeny. | Co porovnává | Výstup | Interpretace | |---|---:|---| | Věk vs. Plat | korelace (kladná/ záporná) | směr a síla vztahu | ## Kdy korelace neznamená příčinu - Společný faktor (confounder) může ovlivňovat obě proměnné. - Obrácená kauzalita: A může být důsledkem B. - Náhoda: náhodné souběhy v datech. Příklad: Změna metody vyučování 🡪 lepší výsledky, ale zároveň mohlo dojít k nárůstu doučování; tedy nelze automaticky tvrdít příčinu. ## Statistické testy a porovnání rozptylů/průměrů ### F-test (porovnání rozptylů) > **Definice:** F-test se používá k porovnání dvou rozptylů; nulová hypotéza je $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$. Postup (prakticky, např. v Gretlu): 1. Nahrát data. 2. Nástroje → Výpočet test. statistik → 2 rozptyly. 3. Naklikat obě proměnné a spustit test. 4. Pokud $p$-hodnota $<\alpha$, zamítáme $H_0$; jinak $H_0$ nepřijímáme. Interpretace: Pokud je $p$-hodnota větší než $0{,}05$, na hladině významnosti $5\%$ nemůžeme zamítnout hypotézu o shodnosti rozptylů. ### t-test (porovnání průměrů) > **Definice:** Dvouvýběrový t-test porovnává střední hodnoty dvou nezávislých populací; často se předpokládá shodnost rozptylů, pokud to test ukáže. Postup (prakticky, např. v Gretlu): 1. Nejdříve ověřit rozptyly F-testem. 2. Nástroje → Výpočet test. statistik → 2 střední hodnoty. 3. Pokud $p$-hodnota $<\alpha$, zamítáme $H_0$ (rozdíl průměrů je statisticky významný). Příklad interpretace výsledku: Oboustranná $p$-hodnota $=0{,}5061$ $>$ $0{,}05$ → na hladině významnosti $5\%$ nemůžeme zamítnout $H_0$; tedy nelze prokázat rozdíl průměrné spokojenosti mezi muži a ženami. ## Vizualizace a predikce pomocí scatterplotu > **Definice:** Scatterplot (bodový graf) zobrazuje hodnoty dvou proměnných, díky čemuž snadno vidíme směr a sílu lineárního vztahu. Postup vytvoření a práce se scatterplotem (prakticky v Gretlu): 1. Nahrát data. 2. Vykreslit proměnné na X a Y (např. počet seminářů jako $X$, výsledek zkoušky jako $Y$). 3. Zakreslit výběrovou regresní přímku (odhad). Pozn.: podrobnou teorii lineární regrese viz materiály věnované přímo této tématice. Příklad: Odvozená přímka (pouze pro predikci) $$Y = 3{,}25 + 6{,}34\cdot X$$ Predikce pro studenty: - $X=7$: $$Y = 3{,}25 + 6{,}34\cdot 7 = 47{,}63\%$$ - $X=9$: $$Y = 3{,}25 + 6{,}34\cdot 9 = 60{,}31\%$$ Interpretace: Čím vyšší počet seminářů, tím vyšší predikovaný výsledek