Podcast na Výpočty ve složeném úročení

Kapitoly

Úroky z úroků

Základní pojmy a vzorec

Budoucí hodnota v praxi

Jak spočítat jistinu a dobu?

Hledání neznámé sazby

Když se úročí častěji

Pozor na časté chyby

Shrnutí a tipy do simulace

Přepis

Karolína: Představ si, že si chceš za pár let pořídit něco velkého, třeba super sluchátka za pět tisíc. Dáš si peníze stranou… a za dva roky tam bude pořád jen pět tisíc. Ale co kdyby tam najednou bylo skoro pět a půl tisíce, aniž bys přidal jedinou korunu navíc?

Tomáš: To zní jako kouzlo, viď? Ale není. Je to jen čistá matematika, které se říká složené úročení. A je to možná nejdůležitější věc, kterou se o penězích můžeš naučit.

Karolína: Přesně o tom to dnes bude. Posloucháte Studyfi Podcast a my se ponoříme do toho, jak nechat peníze pracovat za vás. Takže Tomáši, co to vlastně je to složené úročení?

Tomáš: Ve zkratce? Je to princip „úroků z úroků“. Na rozdíl od jednoduchého úročení, kde dostáváš úrok pořád jen z původní částky, tady se ti úroky připíšou k jistině a v dalším období už dostáváš úrok z téhle navýšené částky.

Karolína: Dobře, takže moje peníze v podstatě plodí další peníze, které pak plodí ještě další peníze. Chápu to správně?

Tomáš: Přesně tak! Je to takový finanční sněhová koule. Abychom to ale mohli spočítat, potřebujeme pár základních pojmů. Máme jistinu, to je ten počáteční vklad, a úrokovou sazbu, což je procento, o které se vklad zhodnotí.

Karolína: Jasně, jistina je G nula a sazba je i. A pak je tam ještě n, což je doba, že?

Tomáš: Ano, n je počet úrokovacích období. A když tyhle tři věci dáš dohromady, dostaneš základní vzorec pro budoucí hodnotu, Gₙ. Ten zní: Gₙ se rovná G₀ krát závorka jedna plus i, to celé na entou.

Karolína: Gₙ = G₀ · (1 + i)ⁿ. To vypadá celkem jednoduše. Pojďme si to ukázat na příkladu. Třeba ten pan Novák z našich materiálů.

Tomáš: Perfektní příklad. Pan Novák vloží sto tisíc korun na účet s roční sazbou 3 %. Úroky se připisují jednou ročně. Chceme vědět, kolik tam bude mít za pět let.

Karolína: Takže… G₀ je 100 000. Sazba i je nula celá nula tři. A doba n je pět let. Dosadíme do vzorce…

Tomáš: A vyjde nám, že G₅ se rovná sto tisíc krát jedna celá nula tři na pátou. Když to hodíš do kalkulačky, dostaneš zhruba 115 927 korun. Jen tak si vydělal skoro šestnáct tisíc. Není to super?

Karolína: To rozhodně je! Ale co když vím, kolik chci mít, a potřebuju zjistit, kolik musím vložit na začátku? Jako paní Dvořáková, která chce mít za deset let půl milionu.

Tomáš: Skvělá otázka. Na to jen stačí otočit ten náš vzorec. Počáteční jistinu G₀ spočítáš tak, že budoucí hodnotu Gₙ vydělíš tou závorkou, tedy (1 + i)ⁿ.

Karolína: Takže paní Dvořáková, která chce 500 000 Kč za 10 let se sazbou 2,5 %… bude muset vydělit pět set tisíc číslem (1,025)¹⁰.

Tomáš: Přesně. A výsledek je zhruba 390 600 korun. To je částka, kterou musí vložit dnes. Ale teď to ztížíme. Co když neznáme dobu? Třeba chci vědět, za jak dlouho se mi zdvojnásobí vklad.

Karolína: Aha, takže neznámá je teď v exponentu. To zavání… logaritmy.

Tomáš: Správně, ale žádný strach! Vzorec pro dobu n je: přirozený logaritmus z podílu Gₙ lomeno G₀, to celé děleno přirozeným logaritmem z (1 + i). Zní to děsivě, ale kalkulačka to zvládne za vteřinu.

Karolína: Takže u pana Svobody, který chce zdvojnásobit 200 000 Kč se 4% sazbou… Počítáme logaritmus ze dvou děleno logaritmem z 1,04. A vyjde nám…

Tomáš: Přibližně 17,67 let. Tak dlouho trvá, než se jeho peníze samy zdvojnásobí.

Karolína: Dobře, logaritmy jsme zvládli. Ale co když naopak znám začátek, konec i dobu, ale nevím, jaká byla úroková sazba? Jako paní Veselá.

Tomáš: To je další častý úkol. Tady zase místo logaritmů použijeme odmocniny. Úrokovou sazbu i dostaneš, když uděláš n-tou odmocninu z podílu Gₙ lomeno G₀ a od výsledku odečteš jedničku.

Karolína: Takže paní Veselá vložila před 8 lety 150 000 a dnes má 185 000. Takže n je 8. Uděláme osmou odmocninu z podílu 185 tisíc děleno 150 tisíci a pak mínus jedna.

Tomáš: A je to. Vyjde nám sazba i zhruba 0,0268, což je 2,68 % ročně. Vidíš, jak se ty vzorce dají krásně ohýbat podle toho, co zrovna potřebuješ zjistit.

Karolína: To je super. Ale zatím jsme mluvili jen o ročním úročení. Co když mi banka připisuje úroky každý měsíc?

Tomáš: Velmi důležitý bod! Čím častěji se úroky připisují, tím lépe pro tebe, protože se ta sněhová koule valí rychleji. Musíš ale upravit vzorec. Roční sazbu vydělíš počtem období v roce a počet let naopak vynásobíš.

Karolína: Takže když mám roční sazbu 2 % a měsíční úročení jako paní Kučerová, tak sazbu i musím vydělit dvanácti. A dobu n, tedy 3 roky, musím vynásobit dvanácti, takže to bude 36 období.

Tomáš: Přesně tak! Vzorec pak bude G₃₆ = 50 000 krát závorka jedna plus nula celá nula dva lomeno dvanácti, to celé na třicátou šestou. Zní to složitě, ale výsledek je pak o něco vyšší, než kdyby se úročilo jen ročně.

Karolína: Zdá se, že největší chybou je asi zapomenout upravit sazbu a dobu, když se úročí třeba měsíčně. Dělá se ještě nějaká další typická chyba?

Tomáš: Určitě. Lidi často pletou jednoduché a složené úročení. To je zásadní rozdíl. Další věc je zaokrouhlování. Vždycky zaokrouhluj až úplně finální výsledek, jinak ti můžou vyjít nesmysly, hlavně u dlouhých období.

Karolína: A taky asi nezapomenout odečíst tu jedničku, když počítám úrokovou sazbu, že?

Tomáš: Přesně! To je klasika. A v reálném světě bychom ještě museli řešit daně z úroků a inflaci, ale pro účely maturity nám tyhle základní vzorce stačí.

Karolína: Tak pojďme si to shrnout. Složené úročení znamená úroky z úroků a způsobuje exponenciální růst. Všechno se točí kolem jednoho hlavního vzorce, který si můžeme upravit podle toho, jestli hledáme jistinu, dobu nebo sazbu.

Tomáš: Přesně. A klíčové je pohlídat si, aby sazba i a doba n vždy odpovídaly stejnému časovému období – ať už je to rok, měsíc, nebo čtvrtletí.

Karolína: A skvělý způsob, jak si to osahat, je naše simulace v aplikaci Studyfi. Můžete si zkusit měnit jistinu, sazbu nebo dobu a hned uvidíte, jak se ten graf mění. Zkuste třeba zjistit, jaký je rozdíl mezi ročním a měsíčním úročením u stejné částky.

Tomáš: To je ten nejlepší trénink. Uvidíte tu sílu složeného úročení na vlastní oči. Einstein ho prý nazval osmým divem světa. A měl pravdu.

Karolína: Tak snad vám tento div světa pomůže u maturity. Díky, Tomáši!

Tomáš: Rádo se stalo. Ať se daří!