Podcast na Vodorovný a šikmý vrh

Kapitoly

Úvod do šikmého vrhu

Rozklad rychlosti na složky

Dva nezávislé pohyby

Dolet a maximální výška

Kouzelný úhel 45 stupňů

Běžné chyby a shrnutí

Přepis

Lucie: Určitě znáte hru Angry Birds. Natáhnete prak, zamíříte a snažíte se trefit ty zelené pašíky. Přemýšleli jste ale někdy, jakou fyziku za tím vývojáři museli použít, aby ten pták letěl přesně tak, jak má?

Vojtěch: Přesně tak! Ta krásná parabolická křivka, kterou ten pták opisuje, není náhoda. Je to dokonalá ukázka toho, čemu ve fyzice říkáme šikmý vrh. A právě ten je motorem spousty věcí, od her přes sporty až po... no, dělostřelectvo.

Lucie: Takže když pochopíme šikmý vrh, budeme lepší v Angry Birds? To beru! Posloucháte Studyfi Podcast.

Vojtěch: Přesně tak. A nejen to, hlavně vám to pomůže u maturity. Tak se na to pojďme podívat.

Lucie: Dobře, Vojtěch, tak co je to ten šikmý vrh? V čem se liší od toho, když prostě něco hodím rovně nahoru nebo pustím dolů?

Vojtěch: Skvělá otázka! Rozdíl je v tom, že u šikmého vrhu dáváme tělesu počáteční rychlost, která má jak vodorovnou, tak svislou složku. Představ si fotbalistu, který kopne do míče. Ten míč neletí jen nahoru, ale zároveň i dopředu.

Lucie: Aha, takže pohyb probíhá ve dvou směrech současně. To zní složitě.

Vojtěch: Vůbec ne! A to je ten trik. Ty dva pohyby můžeme úplně oddělit a zkoumat je zvlášť. Počáteční rychlost, označme ji v nula, si rozložíme na dvě složky pomocí úhlu, pod kterým míč vyletěl. Na vodorovnou složku a svislou složku.

Lucie: Takže goniometrie? Sinus a kosinus?

Vojtěch: Přesně ty! Vodorovná složka rychlosti je v nula krát kosinus úhlu a svislá je v nula krát sinus úhlu. A teď to nejdůležitější... tyhle dvě složky se chovají úplně jinak.

Lucie: Jak jinak? Vždyť je to pořád jeden a ten samý míč.

Vojtěch: Ano, ale působí na něj různé síly. Co se děje ve vodorovném směru? Když zanedbáme odpor vzduchu, což pro zjednodušení ve škole děláme, tak na míč vodorovně nepůsobí žádná síla. Co to znamená pro jeho rychlost?

Lucie: Že... se nemění? Zůstává konstantní?

Vojtěch: Bingo! Vodorovná rychlost je po celou dobu letu stejná. Míč se prostě posouvá dopředu konstantní rychlostí. Je to ten nejjednodušší rovnoměrný pohyb.

Lucie: To je docela překvapivé. A co ten svislý směr?

Vojtěch: Tam už to tak jednoduché není. Tam na míč působí gravitace. Táhne ho neustále dolů. Takže svislá rychlost se mění. Nejdřív míč letí nahoru, zpomaluje, až se v nejvyšším bodě na okamžik zastaví...

Lucie: ...a pak začne padat dolů a zrychluje. Jasně, to je jako když hodím něco přímo nahoru a ono to spadne zpátky.

Vojtěch: Přesně. Je to svislý vrh nahoru. Takže šikmý vrh je vlastně jen kombinace dvou jednoduchých pohybů: rovnoměrného pohybu do strany a vrhu svislého nahoru a dolů. Když je dáme dohromady, dostaneme tu krásnou parabolickou trajektorii.

Lucie: Dobře, takže když známe tyhle dva pohyby, můžeme spočítat... asi všechno, ne? Třeba jak daleko míč doletí?

Vojtěch: Přesně tak. Tomu říkáme dolet. A taky jak vysoko vyletí, čemuž říkáme maximální výška. Na obojí máme elegantní vzorečky, které z toho rozkladu pohybů vycházejí.

Lucie: Sem s nimi! Chci vědět, jestli bych překopla fotbalové hřiště.

Vojtěch: Možná nejdřív zkusíme menší cíl. Pro dolet, označovaný jako 'd', je vzorec: d se rovná v nula na druhou krát sinus dvojnásobku úhlu, to celé děleno g, tedy tíhovým zrychlením.

Lucie: Páni. A pro výšku?

Vojtěch: Maximální výška 'h' je v nula na druhou krát sinus úhlu na druhou, to celé děleno dvakrát g. Vypadají podobně, ale ten rozdíl v sinu je klíčový.

Lucie: Pojďme si to zkusit na příkladu. Třeba ten fotbalista. Kopne do míče rychlostí 20 metrů za sekundu pod úhlem 30 stupňů.

Vojtěch: Perfektní příklad. Dosadíme do vzorce pro dolet: dvacet na druhou je 400. Úhel je 30, jeho dvojnásobek je 60. Sinus 60 je asi 0,866. Takže 400 krát 0,866, děleno zhruba 9,81... a vyjde nám přibližně 35,3 metru.

Lucie: Takže skoro k vápnu. To není špatné. A jak vysoko vyletí?

Vojtěch: Dosadíme do druhého vzorečku. Sinus 30 stupňů je přesně 0,5. To na druhou je 0,25. Takže 400 krát 0,25 je 100. A to dělíme dvěma 'g', tedy asi 19,62. Výsledek? Zhruba 5,1 metru.

Lucie: Takže míč vyletí do výšky dospělého muže stojícího na ramenou druhého. To je dobrá představa.

Vojtěch: Přesně. A vidíš? S pár vzorečky dokážeme přesně popsat celý let míče.

Lucie: Počkat, v tom vzorečku pro dolet byl úhel. To znamená, že záleží na tom, pod jakým úhlem kopnu, abych dostřelila co nejdál?

Vojtěch: Naprosto klíčově! A to je jedna z nejzajímavějších věcí na šikmém vrhu. Existuje jeden optimální úhel pro maximální dolet.

Lucie: A to je...?

Vojtěch: Čtyřicet pět stupňů. Pokud chcete cokoliv hodit nebo vystřelit co nejdál, a máte danou počáteční rychlost, miřte vždycky pod úhlem 45 stupňů.

Lucie: Proč zrovna 45? Proč ne víc, aby to letělo déle?

Vojtěch: Protože je to dokonalý kompromis. Když je úhel moc malý, třeba 20 stupňů, míč má sice velkou vodorovnou rychlost, ale nestráví ve vzduchu dost času a rychle spadne. Když je úhel moc velký, třeba 70 stupňů, míč sice vyletí vysoko a je ve vzduchu dlouho, ale jeho vodorovná rychlost je tak malá, že vlastně moc nedoletí. 45 stupňů je zlatá střední cesta.

Lucie: Zajímavé. Takže v Angry Birds bych taky měla mířit pod 45 stupni pro nejdelší let?

Vojtěch: Teoreticky ano! V praxi tam hraje roli i odpor vzduchu, který my zanedbáváme. Ten ten optimální úhel trochu snižuje. Ale pro školní fyziku je 45° magické číslo.

Lucie: Dobře, Vojtěch, na co si dát u maturity největší pozor? Kde studenti nejčastěji chybují?

Vojtěch: Největší chyba je zapomenout, že gravitace působí jen svisle. Spousta lidí si myslí, že gravitace zpomaluje i pohyb dopředu. Ne! Vodorovná rychlost je konstantní. To si musíte opakovat jako mantru.

Lucie: Vodorovná rychlost je konstantní. Vodorovná rychlost je konstantní. Mám to.

Vojtěch: Super. Další věc je právě ten odpor vzduchu. Ve všech školních úlohách ho ignorujeme. V reálném světě by ten fotbalový míč kvůli odporu vzduchu doletěl o něco blíž a letěl by po trošku jiné křivce. Ale pro naše výpočty je svět bez odporu.

Lucie: Je to takový ideální, fyzikální svět.

Vojtěch: Přesně tak. Takže, abychom to shrnuli. Šikmý vrh rozložíme na dva nezávislé pohyby. Vodorovný je rovnoměrný s konstantní rychlostí. Svislý je rovnoměrně zrychlený s tíhovým zrychlením 'g'.

Lucie: A z toho pak dokážeme spočítat trajektorii, dolet i maximální výšku. A víme, že pro nejdelší dolet je ideální úhel 45 stupňů. Zní to vlastně docela logicky.

Vojtěch: A to je na fyzice to krásné. Jakmile pochopíte ty základní principy, všechno do sebe zapadne. Od letu ptáka v mobilní hře až po hod oštěpem na olympiádě. Všechno se řídí stejnými pravidly.

Lucie: Děkujeme, Vojtěchu, že jsi nám ta pravidla tak skvěle objasnil. A vám děkujeme za poslech. Uslyšíme se zase příště!

Vojtěch: Na shledanou!