Test na Planimetrie: trojúhelník a kružnice

Otázka 1: V důkazu Thaletovy věty, pokud bod C leží na kružnici k a je různý od A a B, trojúhelníky ASC a BSC jsou obecně pravoúhlé, což je klíčové pro odvození součtu úhlů.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Důkaz Thaletovy věty uvádí, že trojúhelníky ASC a BSC jsou rovnoramenné, nikoli pravoúhlé. Klíčové pro odvození součtu úhlů je, že úsečky SA, SB, SC jsou poloměry kružnice, což zaručuje rovnost stran a tím i rovnoramennost trojúhelníků.

Otázka 2: Poloměr vepsané kružnice (r) se vypočítá jako součin obsahu trojúhelníku (P) a jeho polovičního obvodu (s).

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Poloměr vepsané kružnice (r) se vypočítá jako podíl obsahu trojúhelníku (P) a jeho polovičního obvodu (s), tedy r = P / s, nikoli jako jejich součin.

Otázka 3: Které z následujících tvrzení o tečně ke kružnici je pravdivé?

A. Tečna ke kružnici se dotýká kružnice ve dvou bodech.

B. Tečna ke kružnici je vždy kolmá na poloměr, který vede do bodu dotyku.

C. Z vnějšího bodu lze ke kružnici sestrojit právě jednu tečnu.

D. Délky úseček od vnějšího bodu P k bodům dotyku T₁ a T₂ jsou vždy shodné.

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je tečna ke kružnici vždy kolmá na poloměr, který vede do bodu dotyku. Dále platí, že z vnějšího bodu lze ke kružnici sestrojit právě dvě tečny a délky úseček od tohoto vnějšího bodu k bodům dotyku jsou shodné. Tvrzení, že tečna se dotýká kružnice ve dvou bodech, je nepravdivé; tečna má s kružnicí jediný společný bod. Tvrzení, že z vnějšího bodu lze sestrojit právě jednu tečnu, je také nepravdivé, protože jsou vždy dvě.

Otázka 4: Jak se konstruuje střed vepsané kružnice trojúhelníku?

A. Jako průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku.

B. Jako průsečík výšek trojúhelníku.

C. Jako průsečík těžnic trojúhelníku.

D. Jako průsečík os stran trojúhelníku.

Vysvětlení: Střed vepsané kružnice (I) je podle studijních materiálů průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku. Konkrétně se pro konstrukci sestrojí osy libovolných dvou vnitřních úhlů a jejich průsečík je střed I. Ostatní možnosti se týkají jiných významných bodů trojúhelníku, například průsečík os stran je střed kružnice opsané.

Otázka 5: Tečna ke kružnici je vždy kolmá na poloměr v bodě dotyku.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Základní vlastností, na kterou se někdy zapomíná, je, že tečna je vždy kolmá na poloměr v bodě dotyku. Tato vlastnost je popsána jako základ pro mnoho konstrukcí a výpočtů.