Shrnutí na Planimetrie: trojúhelník a kružnice

## Úvod do planimetrie, trojúhelníků a kružnic Planimetrie je odvětví geometrie, které studuje rovinné útvary. Zkoumá vlastnosti bodů, přímek, úseček, úhlů a složitějších obrazců, jako jsou trojúhelníky a kružnice, a jejich vzájemné vztahy v rovině. Trojúhelníky a kružnice patří mezi nejzákladnější a nejdůležitější geometrické útvary, jejichž vlastnosti a vzájemné polohy mají široké uplatnění nejen v matematice, ale i ve fyzice, inženýrství, architektuře a mnoha dalších oborech. ### Trojúhelník > **Definice trojúhelníku**: Trojúhelník je rovinný útvar tvořený třemi body, které neleží na jedné přímce, a třemi úsečkami, které tyto body spojují. Tyto body nazýváme **vrcholy** (obvykle $A$, $B$, $C$) a úsečky **strany** ($a$, $b$, $c$). Úhly uvnitř trojúhelníku se nazývají **vnitřní úhly** ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) a jejich součet je vždy $180^\circ$. Trojúhelníky se dělí podle délek stran (rovnostranný, rovnoramenný, obecný) a podle velikostí úhlů (pravoúhlý, ostroúhlý, tupoúhlý). ### Kružnice > **Definice kružnice**: Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu (**středu** $S$) stejnou vzdálenost (**poloměr** $r$). **Průměr** $d$ je úsečka procházející středem a spojující dva body na kružnici; jeho délka je $2r$. Další důležité pojmy spojené s kružnicí jsou: * **Tětiva**: Úsečka spojující dva body na kružnici. * **Sečna**: Přímka, která protíná kružnici ve dvou bodech. * **Tečna**: Přímka, která se dotýká kružnice v právě jednom bodě (**bodu dotyku**). Tečna je vždy kolmá na poloměr vedoucí do bodu dotyku. * **Oblouk**: Část kružnice mezi dvěma body. Vztahy mezi trojúhelníky a kružnicemi jsou bohaté a vedou k mnoha zajímavým a užitečným větám. V následujících částech prozkoumáme ty nejdůležitější. ## Kružnice opsaná trojúhelníku > **Definice opsané kružnice**: Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Každý trojúhelník má právě jednu opsanou kružnici. ### Střed opsané kružnice ($S_o$) Střed opsané kružnice je průsečík **os stran** trojúhelníku. Osa strany je přímka kolmá na danou stranu a procházející jejím středem. Všechny body na ose strany mají stejnou vzdálenost od koncových bodů této strany. Protože střed opsané kružnice musí být stejně vzdálen od všech tří vrcholů trojúhelníku, musí ležet na osách všech tří stran. ### Poloměr opsané kružnice ($R$) Poloměr $R$ je vzdálenost od středu $S_o$ k libovolnému vrcholu trojúhelníku. Pro obecný trojúhelník platí vztah pro poloměr opsané kružnice: $$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot P}$$ kde $a$, $b$, $c$ jsou délky stran a $P$ je obsah trojúhelníku. ### Konstrukce opsané kružnice 1. Sestrojíme trojúhelník $ABC$. 2. Sestrojíme osy libovolných dvou stran trojúhelníku (např. osy stran $AB$ a $BC$). 3. Průsečík těchto os je střed $S_o$ opsané kružnice. 4. Změříme vzdálenost od $S_o$ k libovolnému vrcholu (např. $A$) – to je poloměr $R$. 5. Sestrojíme kružnici se středem $S_o$ a poloměrem $R$. **Příklad 1: Konstrukce opsané kružnice obecnému trojúhelníku** Nechť je dán trojúhelník $ABC$ se stranami $a = 6 \text{ cm}$, $b = 7 \text{ cm}$, $c = 8 \text{ cm}$. 1. Narýsujeme úsečku $AB$ délky $8 \text{ cm}$. 2. Z bodu $A$ sestrojíme oblouk kružnice s poloměrem $7 \text{ cm}$ a z bodu $B$ oblouk kružnice s poloměrem $6 \text{ cm}$. Jejich průsečík je bod $C$. 3. Sestrojíme osu strany $AB$. 4. Sestrojíme osu strany $BC$. 5. Průsečík os je střed $S_o$ opsané kružnice. 6. Změříme vzdálenost $S_oA$. To je poloměr $R$. Nyní můžeme opsat kružnici. ## Kružnice vepsaná trojúhelníku > **Definice vepsané kružnice**: Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech tří stran trojúhelníku. Každý trojúhelník má právě jednu vepsanou kružnici. ### Střed vepsané kružnice ($S_v$) Střed vepsané kružnice je průsečík **os vnitřních úhlů** trojúhelníku. Osa úhlu je přímka, která dělí úhel na dva shodné úhly. Všechny body na ose úhlu mají stejnou vzdálenost od ramen úhlu. Protože stř