Shrnutí na Kinetická teorie plynů a termodynamika

## Úvod Kinetická teorie plynů vysvětluje makroskopické veličiny (teplotu, tlak, vnitřní energii) pomocí mikroskopického pohybu atomů a molekul. Cílem tohoto materiálu je podat srozumitelný přehled základních pojmů, rovnic a dějů u ideálního plynu a ukázat praktické aplikace. > **Definice:** Kinetická teorie plynů je model, který popisuje plyn jako soustavu rychle se pohybujících částic, jejichž srážky určují tlak a jejich kinetická energie určuje teplotu. ## Základní pojmy - **Stavové veličiny:** tlak $p$, objem $V$, teplota $T$. - **Stavová rovnice ideálního plynu:** $$pV = nRT$$ - **Ideální plyn — předpoklady:** částice mají zanedbatelné rozměry, žádné mezimolekulární síly mimo srážky, srážky jsou dokonale pružné. > **Definice:** Ideální plyn je zjednodušený model reálného plynu, který dovoluje uvažovat vnitřní energii pouze jako kinetickou energii částic. ### Poznámka o reálných plynech - Reálné plyny korigujeme Van der Waalsovou rovnicí: $$\left(p + a \frac{n^2}{V^2}\right)\left(V - nb\right) = nRT$$ - Konstanty $a,b$ jsou empirické a závisí na druhu plynu. ## Stavové děje (jednoduché děje) ### Izotermický děj (T = konst.) - Stavová rovnice dává: $$pV = \text{konst.}$$ - práce při izotermické změně: $$W = nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$$ ### Izobarický děj (p = konst.) - Objem je přímo úměrný teplotě: $$\frac{V}{T}=\text{konst.}$$ - přijaté teplo: $$Q = nC_p\Delta T$$ ### Izochorický děj (V = konst.) - Tlak je přímo úměrný teplotě: $$\frac{p}{T}=\text{konst.}$$ - práce plynu: $W=0$, tedy $Q=\Delta U$ ### Adiabatický děj (Q = 0) - Pro ideální plyn platí vztah adiabaty (závisí na počtu stupňů volnosti), např. pro jednoatomový plyn: $$pV^{\gamma}=\text{konst.}$$ kde $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$. ## Vnitřní energie a tepelná kapacita - U ideálního plynu je vnitřní energie dána součtem kinetických energií částic. - Střední kinetická energie jedné molekuly: $$\bar{E}_{\text{kin}} = \frac{3}{2}kT$$ - Celková vnitřní energie množství $n$ molů jednoatomového ideálního plynu: $$U = n\frac{3}{2}R T$$ > **Definice:** Molární tepelná kapacita při stálém objemu je $$C_V = \left(\frac{1}{n}\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$$ pro jednoatomový ideální plyn platí $$C_V = \frac{3}{2}R$$ - Vztah mezi $C_p$ a $C_V$ pro ideální plyn: $$C_p = C_V + R$$ ### Ekvipartiční teorém a stupně volnosti - Každý nezávislý stupeň volnosti přispívá $ $\frac{1}{2}kT$ ke střední energii jedné molekuly. - Výsledné hodnoty pro střední energii: jednoatomový $\frac{3}{2}kT$, dvouatomový rotačně $\frac{5}{2}kT$ (při nižších T bez vibračních příspěvků), mnohoatomové až $\frac{f}{2}kT$ kde $f$ je počet stupňů volnosti. Did you know that za dostatečně nízkých teplot mohou některé rotační či vibrační stupně volnosti „zamrznout" a tím snížit měřené molární tepelné kapacity? ## Tlak z hlediska kinetické teorie - Tlak je důsledek nárazů molekul na stěny nádoby. - Pro střední kvadratickou rychlost $\bar{v^2}$ a hmotnost jedné molekuly $m$ platí: $$p = \frac{1}{3}\frac{Nm}{V}\bar{v^2}$$ kde $N$ je počet molekul. - Spojením s ideální rovnicí plynu plyne vztah mezi teplotou a střední kvadratickou rychlostí: $$\frac{1}{2}m\bar{v^2} = \frac{3}{2}kT$$ tedy $$\bar{v^2} = \frac{3kT}{m}$$ ### Druhy průměrných rychlostí - Nejpravděpodobnější rychlost $v_{mp}$, střední rychlost $\bar{v}$ a střední kvadratická rychlost $v_{rms} = \sqrt{\bar{v^2}}$ se liší a jsou odvozeny z Maxwellova rozdělení rychlostí. > **Definice:** Maxwellovo rozdělení rychlostí dává pravděpodobnostní hustotu rychlostí molekul: $$P(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$$ Fun fact: Rychlosti molekul v plynu při pokojové teplotě jsou řádově stovky metrů za sekundu, přesto že makroskopický pohyb plynu často vypadá jako klid. ## Praktické příklady 1. Výpočet práce při izotermické expanzi: pokud se ideální plyn při teplotě $T$ expanduje z $V_i$ do $V_f$, práce je $$W = nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$$ 2. Vnitřní energie pro $n$ molů jednoatomového plynu: $$U = n\frac{3}{2}RT$$