Podcast na Ekonometrie: Modely a metody

Kapitoly

Úvod do ekonometrie

Matematika, kterou musíte znát

Základy - Lineární funkce

Když jedna proměnná nestačí

Jak se ten model vlastně najde?

Od teorie k praxi

K čemu je to celé dobré?

Když přímka nestačí

Stavba modelu krok za krokem

Pečení a verifikace

Multikolinearita

Autokorelace reziduí

Heteroskedasticita

Normalita reziduí

Pavučinový teorém

Produkční funkce

Přepis

Klára: Takže v podstatě říkáš, že ekonometrie je jako detektivka, ale místo otisků prstů hledáme vzorce v datech?

Martin: Přesně tak! Je to o hledání příběhu, který ta čísla vyprávějí. Snažíme se najít funkci, která co nejlépe napodobí realitu.

Klára: To zní mnohem zajímavěji než definice z učebnice! A pro všechny, co se právě připojili, posloucháte Studyfi Podcast. Martine, pojďme na to od začátku. Co je tedy ekonometrie?

Martin: Jednoduše řečeno, je to disciplína na pomezí ekonomie, matematiky a statistiky. Vezmeme ekonomickou teorii, třeba že když cena stoupá, poptávka klesá, a pomocí statistických dat a matematiky se snažíme tento vztah změřit a ověřit.

Klára: Dobře, takže bez matematiky se asi neobejdeme. Co konkrétně bychom si měli oprášit, než se do ekonometrie pustíme?

Martin: Není toho moc, ale je to důležité. Základem jsou matice, průběh funkce a derivace. Hlavně ty matice jsou klíčové pro spoustu výpočtů.

Klára: Matice... to je ta věc, kde záleží na pořadí násobení, že? Pamatuju si, jak nás na tom učitelé vždycky nachytali.

Martin: Přesně! U čísel platí, že 3 krát 2 je to samé jako 2 krát 3. Ale u matic to neplatí! Matice A krát matice B se skoro nikdy nerovná matici B krát matice A. Nesmíte to zaměňovat.

Klára: Takže na pořadí záleží. To je skoro jako v životě! Co dál?

Martin: Pak určitě derivace a umět analyzovat průběh funkce. To se hodí, když chceme najít, jak se jedna veličina mění v závislosti na druhé.

Klára: Fajn. Když máme matiku, jaký je ten nejjednodušší model, se kterým začneme? Předpokládám, že nějaká přímka.

Martin: Trefa. Začínáme s lineární funkcí, kterou všichni znají: y = a + b krát x. V našem světě tomu říkáme jednoduchá regrese.

Klára: A ty proměnné y a x mají nějaké speciální názvy, že? Endogenní, exogenní… zní to trochu jako z jiné planety.

Martin: Zní, ale je to jednoduché. Proměnná 'y' je ta, kterou se snažíme vysvětlit. Říkáme jí závislá nebo endogenní. A 'x' je ta, kterou to vysvětlujeme – nezávislá nebo exogenní.

Klára: Takže kdybychom zkoumali vztah mezi počtem hodin učení a známkou, známka by byla 'y' a hodiny učení 'x'.

Martin: Perfektní příklad! A pak tu máme parametry 'a' a 'b'. 'a' je konstanta, která říká, jaká by byla známka, i kdyby ses neučila vůbec. Snad ne moc vysoká.

Klára: Doufejme, že by to nebyla pětka! A co to 'b'?

Martin: 'b' je nejdůležitější. Říká se mu sklon nebo regresní koeficient. Udává, o kolik se v průměru změní tvá známka 'y', když se budeš učit o jednu hodinu déle. To je to, co nás zajímá nejvíc.

Klára: Jasně. Ale na známku přece nemá vliv jen učení. Co třeba spánek, nebo jestli jsem zrovna pila kafe?

Martin: Výborná poznámka! V realitě je to skoro vždycky složitější. Proto používáme vícenásobnou regresi. Do rovnice prostě přidáme další proměnné: x2, x3 a tak dál.

Klára: Takže rovnice by byla y = a krát x1 plus b krát x2 plus c krát x3... a tak dále? Kde x1 je učení, x2 spánek, x3 kafe...

Martin: Přesně. A tady přichází na scénu kouzelné slovíčko: „ceteris paribus“. Je to latinsky a znamená to „za jinak stejných podmínek“.

Klára: A co to znamená prakticky?

Martin: Znamená to, že když interpretujeme vliv učení na známku, tak předpokládáme, že všechny ostatní faktory – jako spánek nebo kafe – se nemění. Zmrazíme je. Díváme se na vliv každé proměnné zvlášť.

Klára: Dobře, takže máme data, máme model... ale jak najdeme ty správné hodnoty parametrů 'a' a 'b'? Jak zjistíme tu nejlepší možnou přímku, která popisuje naše data?

Martin: K tomu slouží takzvaná metoda nejmenších čtverců, zkratka BMNČ. Je na to vzorec, který vypadá dost děsivě, plný matic a transpozic, ale princip je geniálně jednoduchý.

Klára: Povídej, jsem napnutá!

Martin: Představ si, že máš graf plný teček – to jsou tvá data. A teď se snažíš těmi tečkami proložit přímku tak, aby byla co nejblíže všem tečkám najednou.

Klára: A co znamená „nejblíže“?

Martin: Metoda nejmenších čtverců minimalizuje součet čtverců vertikálních vzdáleností každého bodu od té přímky. Laicky řečeno, najde takovou přímku, kde součet všech „chyb“ nebo „minutí“ je absolutně nejmenší možný. Je to matematicky dokázaný nejlepší odhad.

Klára: Super, to dává smysl. Když tedy máme metodu, jaký je celý postup od nápadu až po hotový model?

Martin: Celý proces má několik fází. Začíná to vždy ekonomií – musíme mít nějakou teorii, co chceme zkoumat. Pak vytvoříme ekonomický a následně ekonometrický model, což je vlastně ta naše rovnice.

Klára: A pak přichází na řadu sběr dat?

Martin: Ano, to je často ta nejtěžší část. Potřebujeme kvalitní data. Můžou to být časové řady, jako HDP za posledních 20 let, nebo průřezová data, třeba dotazník mezi 1000 lidmi v jednom okamžiku.

Klára: A když máme data a model, odhadneme parametry pomocí té metody nejmenších čtverců.

Martin: Přesně. Ale tím to nekončí! Pak následuje nejdůležitější krok: verifikace. Musíme otestovat, jestli je model matematicky, ekonomicky, statisticky a ekonometricky v pořádku. Jestli dává smysl a jestli je spolehlivý.

Klára: A pokud projde všemi testy, k čemu ho můžeme použít? K čemu je to v praxi dobré?

Martin: Má to spoustu aplikací. Hlavní jsou tři: strukturální analýza, prognózy a simulace. Strukturální analýza nám řekne, jak silné jsou jednotlivé vztahy.

Klára: Jako v tom příkladu se spotřebou vepřového masa? Že zjistíme, jestli má na spotřebu větší vliv cena vepřového, nebo třeba cena kuřecího?

Martin: Přesně tak. Prognózy jsou asi jasné – snažíme se předpovědět budoucí vývoj. A simulace jsou skvělé. Můžeme se ptát: „Co by se stalo, kdyby…?“ Třeba „Jak by se změnila spotřeba, kdyby vláda zvýšila DPH na maso o 5 %?“

Klára: Všechny příklady, o kterých jsme mluvili, byly lineární – přímky. Ale co když ten vztah v realitě není přímka?

Martin: Skvělá otázka. Často není. Proto existují i nelineární modely. Typickým příkladem jsou takzvané Tornquistovy funkce, které se používají pro modelování spotřeby.

Klára: A v čem jsou jiné?

Martin: Popisují různé typy statků. Třeba spotřeba nezbytných věcí, jako je chleba, s rostoucím příjmem roste jen do určité míry a pak se zastaví. Člověk prostě nesní deset chlebů denně, i kdyby byl milionář.

Klára: To je pravda.

Martin: Zatímco spotřeba luxusních statků, třeba drahých aut, začne růst až od určitého příjmu, ale pak může růst velmi rychle. A to přímkou popsat nejde. Musíme použít křivku.

Klára: Takže ekonometrie nám dává nástroje, jak popsat i tyhle složitější vztahy. To je fascinující. Díky moc, Martine, za skvělé vysvětlení!

Martin: Rádo se stalo.

Klára: Takže ekonometrie nám dává nástroje, jak popsat i tyhle složitější vztahy. To je fascinující. Díky moc, Martine, za skvělé vysvětlení!

Martin: Rádo se stalo.

Klára: Martine, teď když chápeme, co je lineární a co je křivka, jak se takový ekonometrický model vlastně postaví? Není to asi tak, že si jen tak sednu a něco napíšu, že ne?

Martin: To rozhodně ne. Je to proces, který má docela jasné kroky. Představ si to jako stavbu domu. Má to sedm fází.

Klára: Sedm fází? Tak to jsem zvědavá. Sem s nimi!

Martin: Fáze číslo jedna: ekonomická teorie. Než začneme cokoliv počítat, musíme rozumět tomu, co zkoumáme. Přečteme si studie, podíváme se na existující teorie... Zkrátka si uděláme rešerši.

Klára: Takže nejdřív plány, než začneme kopat. To dává smysl.

Martin: Přesně. Fáze dvě a tři jsou tvorba ekonomického a pak ekonometrického modelu. To je ten přechod od slovní myšlenky k rovnici. Řekneme si, které proměnné spolu souvisí a jak.

Klára: Třeba že spotřeba závisí na příjmu. Z toho se pak stane rovnice.

Martin: Bingo. A pak fáze čtyři: sběr dat. To je ta mravenčí práce. Musíme najít reálná čísla, která dosadíme do našeho modelu. Bez kvalitních dat je i ten nejlepší model k ničemu.

Klára: Chápu. Odpadky dovnitř, odpadky ven.

Martin: Trefa. Takže máme teorii, máme rovnici a máme data. Jsme připraveni na tu nejzajímavější část.

Klára: A to je fáze pět, předpokládám? Odhad parametrů modelu?

Martin: Přesně tak. Tady přichází na řadu počítač a software. Ten vezme naši rovnici a naše data a

Klára: ...a odhadne ty nejlepší parametry. Takže máme hotový model. Skvělé, konec, jdeme domů?

Martin: Kéž by to bylo tak jednoduché. Ne, teď přichází fáze, které říkáme ekonometrická verifikace. Je to v podstatě taková technická kontrola pro náš model.

Klára: Jako když jdu s autem na STK? Kontroluješ emise, brzdy, světla…

Martin: Přesně tak! Musíme se ujistit, že náš model je „způsobilý k provozu“. Že nám nedává nesmyslné výsledky, protože jsme něco přehlédli. Zjišťujeme, jestli splňuje základní předpoklady.

Klára: A co je první věc, kterou kontroluješ? Co jsou ty pomyslné „brzdy“ modelu?

Martin: První velký strašák se jmenuje multikolinearita. Zní to složitě, ale princip je jednoduchý.

Klára: Tak povídej. Jsem jedno ucho.

Martin: Multikolinearita znamená, že dvě nebo více tvých vysvětlujících proměnných jsou na sobě silně závislé. Jinými slovy, říkají nám v podstatě tu samou věc.

Klára: Můžeš dát příklad?

Martin: Jasně. Představ si, že chceš předpovědět spotřebu zmrzliny. A do modelu dáš jako proměnné teplotu ve stupních Celsia a zároveň teplotu ve stupních Fahrenheita.

Klára: Aha! Tak to je přece skoro to samé, jen v jiné škále. Jedno se dá z druhého vypočítat.

Martin: Přesně! A model z toho bude úplně zmatený. Nebude vědět, jestli spotřebu zmrzliny ovlivňuje Celsius nebo Fahrenheit. Bude to jako snažit se zjistit, které z jednovaječných dvojčat udělalo nepořádek v pokoji. Nejde to oddělit.

Klára: Chápu. Takže důsledkem je, že model sice nějak funguje, ale nedokáže spolehlivě říct, jak moc která proměnná výsledek ovlivňuje?

Martin: Přesně. Odhady parametrů jsou pak velmi nestabilní a mají obrovský rozptyl. Stačí malá změna v datech a výsledky ti úplně ulítnou. Navíc se ti může stát, že proměnné, které by měly být důležité, se budou tvářit jako statisticky nevýznamné.

Klára: To je zrada. Jak to odhalím?

Martin: Nejjednodušší je podívat se na takzvanou korelační matici. Ta ti ukáže, jak moc jsou jednotlivé proměnné na sobě závislé. Pokud je korelace mezi dvěma vysvětlujícími proměnnými moc vysoká, třeba nad 0,8, zvoní ti alarm.

Klára: A co s tím? Když zjistím, že mám v modelu ta „dvojčata“?

Martin: Nejčastější řešení je prostě jedno z nich vyhodit. Většinou tu proměnnou, která má menší smysl pro naši teorii, nebo je hůře měřitelná. Tím se problému zbavíš.

Klára: Dobře, multikolinearitu máme z krku. Co dál? Co jsou ty „emise“?

Martin: Další na řadě je autokorelace reziduí. Opět, zní to hrozně, ale myšlenka je opět prostá.

Klára: Tak sem s ní.

Martin: Rezidua, to jsou ty naše chyby odhadu, pamatuješ? A my předpokládáme, že jsou náhodné. Že chyba, kterou model udělá dnes, nijak nesouvisí s chybou, kterou udělal včera.

Klára: To dává smysl. Měly by to být jen náhodné odchylky.

Martin: Přesně. Ale co když nejsou? Co když chyba z jednoho období ovlivňuje chybu v dalším? Tomu se říká autokorelace. Jako když máš dobrou náladu, tak je větší šance, že ji budeš mít i zítra. Tvoje nálada má „autokorelaci“.

Klára: A to je problém pro model? Že má nálady?

Martin: Je to velký problém! Znamená to, že v našem modelu něco chybí. Nejspíš jsme zapomněli na nějakou důležitou proměnnou, která se v čase vyvíjí postupně – třeba právě ta „nálada“ na trhu.

Klára: Jaké to má důsledky? Kromě toho, že je model náladový.

Martin: Důsledky jsou zákeřné. Odhady parametrů sice pořád míří na správný cíl, ale jejich rozptyl je špatně odhadnutý. A to vede k tomu, že testy statistické významnosti lžou. Můžeš si myslet, že nějaká proměnná je super důležitá, i když ve skutečnosti není. Nebo naopak.

Klára: Au. Takže se můžu radovat z objevu století, který je ve skutečnosti jen statistický přelud způsobený autokorelací?

Martin: Přesně tak. Je to jedna z nejčastějších chyb. Naštěstí máme testy, jak to odhalit. Nejznámější je Durbin-Watsonův test. Ten ti dá číslo mezi 0 a 4.

Klára: A co to číslo znamená?

Martin: Hodnota kolem 2 znamená, že je vše v pořádku. Čím víc se blížíš k nule, tím máš větší problém s pozitivní autokorelací. A čím blíž jsi ke čtyřce, tím spíš jde o negativní autokorelaci.

Klára: A řešení? Když mi test ukáže problém?

Martin: Většinou je to signál, že model je špatně specifikovaný. Chybí ti tam nějaká proměnná, nebo jsi zvolil špatný tvar závislosti. Takže se musíš vrátit k rýsovacímu prknu a model vylepšit.

Klára: Takže máme zkontrolované brzdy a emise. Co dál? Světla?

Martin: Ano, teď si posvítíme na heteroskedasticitu.

Klára: Panebože, další slovo. To si snad ani nezapamatuju.

Martin: Nemusíš. Stačí si pamatovat, co to znamená. Opět se to týká reziduí, našich chyb. Ideální stav, kterému říkáme homoskedasticita, je, že rozptyl těch chyb je pořád stejný. Konstantní.

Klára: Takže model se plete pořád zhruba stejně, ať už jsou hodnoty proměnných malé, nebo velké.

Martin: Přesně! Ale u heteroskedasticity to tak není. Tam se rozptyl chyb mění. Třeba s rostoucími příjmy lidí roste i rozptyl jejich úspor. Lidé s nízkými příjmy mají úspory malé a málo se liší. Ale u bohatých lidí někdo spoří obrovské částky a někdo skoro nic. Rozptyl je tam mnohem větší.

Klára: Rozumím. A to je opět špatně?

Martin: Ano. Důsledky jsou prakticky stejné jako u autokorelace. Odhady jsou sice nestranné, ale nejsou nejlepší, co můžeme mít. A hlavně – zase nám lžou statistické testy. Nemůžeme se spolehnout na to, jestli je proměnná významná, nebo ne.

Klára: Jak to poznám? Další test?

Martin: Přesně! Existuje jich víc, ale často se používá třeba Breusch-Paganův test nebo Whiteův test. Ty nám řeknou, jestli je rozptyl reziduí závislý na našich vysvětlujících proměnných.

Klára: A řešení? Zase zpátky k rýsovacímu prknu?

Martin: Někdy ano, pokud je problém ve specifikaci. Ale existují i speciální metody odhadu, které si s heteroskedasticitou umí poradit. Například takzvaná vážená metoda nejmenších čtverců.

Klára: Dobře, takže máme zkontrolovanou závislost mezi proměnnými, závislost chyb v čase a taky jestli se chyby nechovají divočeji pro různé hodnoty. Je to všechno?

Martin: Skoro. Poslední velká kontrola je normalita reziduí. Tady zkoumáme, jestli se naše chyby chovají podle takzvaného normálního rozdělení. Znáš Gaussovu křivku, ten zvon?

Klára: Jasně, zvonovitý tvar. Většina hodnot je uprostřed kolem průměru a směrem do stran jich rychle ubývá.

Martin: Přesně tak. My chceme, aby se naše chyby takhle chovaly. Aby malé chyby byly časté a velké chyby naopak velmi vzácné. Znamená to, že model se většinou trefuje dobře a jen občas ustřelí.

Klára: A pokud se tak nechovají?

Martin: Pokud rezidua nemají normální rozdělení, tak nám to opět může zneplatnit některé statistické testy, které na tomto předpokladu stojí. Zase bychom mohli dojít k chybným závěrům.

Klára: Test na tohle asi taky existuje, že?

Martin: Samozřejmě. Třeba Jarque-Bera test. Ten se dívá na šikmost a špičatost toho rozdělení a porovnává to s ideální Gaussovou křivkou.

Klára: Takže abych to shrnula. Máme hotový model, ale než ho vypustíme do světa, musíme mu udělat kompletní „technickou“. Zkontrolovat multikolinearitu, autokorelaci, heteroskedasticitu a normalitu reziduí.

Martin: Perfektní shrnutí. Je to naprosto klíčový krok. Spousta lidí ho podceňuje, ale bez pořádné verifikace je i ten nejlepší model jenom takové hádání z křišťálové koule.

Klára: A když náš model všemi těmito testy projde a dostane tu pomyslnou nálepku z STK... co potom? Můžeme konečně začít předpovídat budoucnost?

Martin: Předpovídat budoucnost... To je trochu silné slovo, ale ano. Teď můžeme začít analyzovat, jak se trhy chovají. A někdy je to docela divoké.

Klára: Jak to myslíš, divoké?

Martin: Vezmi si třeba takzvaný pavučinový teorém. Ukazuje, jak se cena a množství na trhu hledají. Někdy se k sobě přibližují jako po spirále, hezky stabilně.

Klára: A jindy?

Martin: Jindy se naopak od sebe vzdalují. Je to jako špatný taneční pár, který si pořád šlape na nohy. To je nestabilní rovnováha. A někdy jen oscilují v kruhu.

Klára: Takže buď se trh uklidní, nebo se úplně zblázní?

Martin: Přesně tak. Klíčový je vztah sklonů poptávkové a nabídkové křivky. Ten rozhodne, jestli se trh vrátí do rovnováhy, nebo ne.

Klára: Dobře, to je chování celého trhu. A co když se podíváme dovnitř jedné firmy? Jak se rozhoduje, kolik má třeba… péct rohlíků?

Martin: Skvělý přechod! Tam nám pomůže produkční funkce. Ta nám říká, kolik výstupu, tedy těch rohlíků, dostaneme z určitého množství vstupů – třeba pekařů.

Klára: Takže jeden pekař upeče X rohlíků, dva upečou víc…?

Martin: Ano, ale ne nutně dvakrát tolik. Sledujeme celkový produkt, průměrný a hlavně mezní produkt. Tedy o kolik víc rohlíků upeče ten *další* přidaný pekař.

Klára: A ten mezní produkt asi postupně klesá, že? Protože si začnou překážet v kuchyni?

Martin: Přesně! Zákon klesajících výnosů v praxi.

Klára: Takže jsme dnes od verifikace modelů skočili k pavoučím sítím na trhu a přelidněným pekárnám. Mikroekonomie je opravdu fascinující.

Martin: To rozhodně je. Ukazuje nám logiku za rozhodováním firem i chováním celých trhů. Díky za super diskuzi, Kláro.

Klára: I já děkuju, Martine. A vám, milí posluchači, děkujeme za pozornost. Slyšíme se zase příště u dalšího dílu Studyfi Podcastu. Mějte se hezky!

Martin: Na slyšenou!