Похідні та дотичні
Похідні та дотичні — безкоштовна інтерактивна симуляція зі StudyFi Lab. Працює просто в браузері, без реєстрації та встановлення.
Дотична, січна і графік f′ для твоєї функції
Експерименти
Дотична і похідна
Перетягуй точку вздовж графіка f. Пунктирна пряма — дотична: вона дотикається до кривої в точці x₀ і має кутовий коефіцієнт k = f′(x₀). Нижній графік збирає ці нахили для кожного x — це похідна f′(x). Де f зростає, f′ додатна; де спадає — від’ємна.
Спробуй: Обери кубічну функцію й пересунь точку туди, де дотична горизонтальна. Яке значення там має f′ і де нижній графік перетинає вісь x?
Від січної до дотичної
Січна проходить через дві точки графіка: x₀ і x₀ + h. Її нахил — різницеве відношення k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Коли h зменшується, друга точка наближається до першої, і січна перетворюється на дотичну: границя k(h) при h → 0 і є похідною f′(x₀).
Спробуй: Зменшуй h до нуля (повзунком або анімацією) і стеж, як нахил січної у значеннях наближається до f′(x₀). Спробуй і з синусом.
Знайди похідну
Угорі функція f, унизу три графіки, і лише один із них — її похідна. Читай f як мапу нахилів: де f зростає, f′ лежить над віссю x; де спадає — під нею; на вершині чи в западині f′ проходить через нуль. П’ять раундів, щоразу інший тип функції.
Спробуй: Перш ніж обрати, знайди точки, де f має горизонтальну дотичну, і перевір, який кандидат дорівнює нулю саме там.
Екстремуми й точки перегину
Стаціонарні точки — там, де f′(x) = 0 і дотична горизонтальна. Якщо f′ змінює знак з + на −, f має локальний максимум; з − на + — локальний мінімум; якщо знак не змінюється, це стаціонарна точка перегину. Де f″ змінює знак, крива переходить від опуклості вниз до опуклості вгору (або навпаки): це точка перегину.
Спробуй: Визнач кожен «?» на графіку за знаками f′ унизу, а потім увімкни класифікацію для перевірки. Наостанок задай кубічній функції a = 1, b = 0, c = 0.
Поширені запитання
Що таке «Похідні та дотичні»?
Похідні та дотичні — безкоштовна інтерактивна симуляція зі StudyFi Lab. Працює просто в браузері, без реєстрації та встановлення. Дотична, січна і графік f′ для твоєї функції
Застосунок «Похідні та дотичні» безкоштовний?
Так. Застосунок «Похідні та дотичні» повністю безкоштовний. Він працює в браузері на комп’ютері, планшеті й телефоні, акаунт не потрібен.
Що можна дослідити в застосунку «Похідні та дотичні»?
Дотична і похідна, Від січної до дотичної, Знайди похідну, Екстремуми й точки перегину.
Що показує експеримент «Дотична і похідна»?
Перетягуй точку вздовж графіка f. Пунктирна пряма — дотична: вона дотикається до кривої в точці x₀ і має кутовий коефіцієнт k = f′(x₀). Нижній графік збирає ці нахили для кожного x — це похідна f′(x). Де f зростає, f′ додатна; де спадає — від’ємна.
Що показує експеримент «Від січної до дотичної»?
Січна проходить через дві точки графіка: x₀ і x₀ + h. Її нахил — різницеве відношення k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Коли h зменшується, друга точка наближається до першої, і січна перетворюється на дотичну: границя k(h) при h → 0 і є похідною f′(x₀).
Готуєшся до контрольної?
Завантаж свої конспекти, і StudyFi перетворить їх на картки, тести й подкасти.