Производные и касательные
Производные и касательные — бесплатная интерактивная симуляция из StudyFi Lab. Работает прямо в браузере, без регистрации и установки.
Касательная, секущая и график f′ для твоей функции
Эксперименты
Касательная и производная
Перетаскивай точку по графику f. Пунктирная прямая — касательная: она касается кривой в точке x₀ и имеет угловой коэффициент k = f′(x₀). Нижний график собирает эти наклоны для каждого x — это производная f′(x). Где f возрастает, f′ положительна; где убывает — отрицательна.
Попробуй: Выбери кубическую функцию и передвинь точку туда, где касательная горизонтальна. Какое значение там у f′ и где нижний график пересекает ось x?
От секущей к касательной
Секущая проходит через две точки графика: x₀ и x₀ + h. Её наклон — разностное отношение k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Когда h уменьшается, вторая точка приближается к первой, и секущая превращается в касательную: предел k(h) при h → 0 и есть производная f′(x₀).
Попробуй: Уменьшай h до нуля (ползунком или анимацией) и следи, как наклон секущей в значениях приближается к f′(x₀). Попробуй и с синусом.
Найди производную
Сверху функция f, снизу три графика, и только один из них — её производная. Читай f как карту наклонов: где f возрастает, f′ лежит выше оси x; где убывает — ниже; на вершине или во впадине f′ проходит через ноль. Пять раундов, каждый раз другой тип функции.
Попробуй: Прежде чем выбрать, найди точки, где у f горизонтальная касательная, и проверь, какой кандидат равен нулю именно там.
Экстремумы и точки перегиба
Стационарные точки — это точки, где f′(x) = 0 и касательная горизонтальна. Если f′ меняет знак с + на −, у f локальный максимум; с − на + — локальный минимум; если знак не меняется, это стационарная точка перегиба. Где меняет знак f″, кривая переходит от выпуклости вниз к выпуклости вверх (или наоборот): это точка перегиба.
Попробуй: Определи каждый «?» на графике по знакам f′ внизу, затем включи классификацию для проверки. Потом задай кубической функции a = 1, b = 0, c = 0.
Частые вопросы
Что такое «Производные и касательные»?
Производные и касательные — бесплатная интерактивная симуляция из StudyFi Lab. Работает прямо в браузере, без регистрации и установки. Касательная, секущая и график f′ для твоей функции
Приложение «Производные и касательные» бесплатное?
Да. Приложение «Производные и касательные» полностью бесплатное. Оно работает в браузере на компьютере, планшете и телефоне, аккаунт не нужен.
Что можно изучить в приложении «Производные и касательные»?
Касательная и производная, От секущей к касательной, Найди производную, Экстремумы и точки перегиба.
Что показывает эксперимент «Касательная и производная»?
Перетаскивай точку по графику f. Пунктирная прямая — касательная: она касается кривой в точке x₀ и имеет угловой коэффициент k = f′(x₀). Нижний график собирает эти наклоны для каждого x — это производная f′(x). Где f возрастает, f′ положительна; где убывает — отрицательна.
Что показывает эксперимент «От секущей к касательной»?
Секущая проходит через две точки графика: x₀ и x₀ + h. Её наклон — разностное отношение k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Когда h уменьшается, вторая точка приближается к первой, и секущая превращается в касательную: предел k(h) при h → 0 и есть производная f′(x₀).
Готовишься к контрольной?
Загрузи свои конспекты, и StudyFi превратит их в карточки, тесты и подкасты.