Deriváltak és érintők
Deriváltak és érintők: ingyenes interaktív szimuláció a StudyFi Labből. Közvetlenül a böngészőben fut, regisztráció és telepítés nélkül.
Érintő, szelő és f′ grafikonja a saját függvényedre
Kísérletek
Érintő és derivált
Húzd a pontot f grafikonja mentén. A szaggatott egyenes az érintő: x₀-ban érinti a görbét, meredeksége k = f′(x₀). Az alsó grafikon minden x-re összegyűjti ezeket a meredekségeket – ez a derivált, f′(x). Ahol f nő, ott f′ pozitív; ahol csökken, ott negatív.
Próbáld ki: Válaszd a harmadfokú függvényt, és vidd a pontot oda, ahol az érintő vízszintes. Mennyi ott f′, és hol metszi az alsó grafikon az x tengelyt?
A szelőtől az érintőig
A szelő a grafikon két pontján megy át: x₀-on és x₀ + h-n. Meredeksége a differenciahányados, k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Ahogy h csökken, a második pont az elsőhöz közeledik, és a szelő érintővé válik: k(h) határértéke h → 0 esetén a derivált, f′(x₀).
Próbáld ki: Csökkentsd h-t nulla felé (csúszkával vagy animációval), és figyeld, ahogy az értékek között a szelő meredeksége megközelíti f′(x₀)-t. Próbáld ki a szinusszal is.
Találd meg a deriváltat
Fent egy f függvény látható, lent három grafikon – ezek közül csak egy a deriváltja. Olvasd f-et meredekségtérképként: ahol f nő, ott f′ az x tengely fölött van; ahol csökken, alatta; csúcsnál vagy völgynél f′ áthalad a nullán. Öt kör, mindig más típusú függvénnyel.
Próbáld ki: Mielőtt választasz, keresd meg, hol vízszintes f érintője, és nézd meg, melyik jelölt nulla éppen ott.
Szélsőértékek és inflexiós pontok
A stacionárius pontokban f′(x) = 0, az érintő vízszintes. Ha f′ előjele +-ból −-ba vált, f-nek ott helyi maximuma van; −-ból +-ba váltva helyi minimuma; ha az előjel nem változik, vízszintes érintőjű inflexiós pontról van szó. Ahol f″ előjelet vált, a görbe konvexből konkávba (vagy fordítva) megy át: ez az inflexiós pont.
Próbáld ki: Határozd meg az alsó grafikon f′-előjelei alapján a görbén lévő összes „?” jelet, majd a besorolás bekapcsolásával ellenőrizd. Végül állítsd a harmadfokú függvényt a = 1, b = 0, c = 0 értékre.
Gyakori kérdések
Mi az a(z) Deriváltak és érintők?
Deriváltak és érintők: ingyenes interaktív szimuláció a StudyFi Labből. Közvetlenül a böngészőben fut, regisztráció és telepítés nélkül. Érintő, szelő és f′ grafikonja a saját függvényedre
Ingyenes a(z) Deriváltak és érintők?
Igen. A(z) Deriváltak és érintők teljesen ingyenes. Böngészőben fut számítógépen, tableten és telefonon, és nem kell hozzá fiók.
Mit fedezhetek fel ebben: Deriváltak és érintők?
Érintő és derivált, A szelőtől az érintőig, Találd meg a deriváltat, Szélsőértékek és inflexiós pontok.
Mit mutat a(z) „Érintő és derivált” kísérlet?
Húzd a pontot f grafikonja mentén. A szaggatott egyenes az érintő: x₀-ban érinti a görbét, meredeksége k = f′(x₀). Az alsó grafikon minden x-re összegyűjti ezeket a meredekségeket – ez a derivált, f′(x). Ahol f nő, ott f′ pozitív; ahol csökken, ott negatív.
Mit mutat a(z) „A szelőtől az érintőig” kísérlet?
A szelő a grafikon két pontján megy át: x₀-on és x₀ + h-n. Meredeksége a differenciahányados, k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Ahogy h csökken, a második pont az elsőhöz közeledik, és a szelő érintővé válik: k(h) határértéke h → 0 esetén a derivált, f′(x₀).
Dolgozatra készülsz?
Töltsd fel a jegyzeteidet, és a StudyFi szókártyákat, teszteket és podcastokat készít belőlük.