Vektoren
Vektoren ist eine kostenlose interaktive Simulation aus dem StudyFi Lab. Sie läuft direkt im Browser, ohne Anmeldung und ohne Installation.
Addiere, skaliere und multipliziere Vektoren in 2D und 3D
Experimente
Grundlagen
Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Man schreibt ihn mit Koordinaten a = (a₁; a₂; a₃) oder mit den Einheitsvektoren der Achsen als a = a₁i + a₂j + a₃k. Den Betrag liefert Pythagoras: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²); der Einheitsvektor â = a / |a| behält die Richtung und hat die Länge 1. Der Vektor von Punkt A nach Punkt B ist die Differenz B − A.
Probier das: Zieh die Spitze auf (3; 4) und prüfe, dass |a| = 5 ist. Schalte dann „Aus zwei Punkten“ ein und verschiebe beide Punkte gleich weit: Der Vektor bleibt derselbe.
Vektoraddition
Vektoren addiert man komponentenweise: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Zeichnerisch setzt man b an die Spitze von a (Dreiecksregel) oder spannt mit beiden ein Parallelogramm auf; die Summe ist seine Diagonale. Die Differenz a − b ist die Summe a + (−b), also der Vektor von der Spitze von b zur Spitze von a.
Probier das: Drück „b an die Spitze von a setzen“ und sieh zu, wie das Dreieck entsteht. Wechsle dann zum Parallelogramm und stelle b = −a ein: Die Summe wird zum Nullvektor.
Vielfaches eines Vektors
Das Vielfache k·a multipliziert jede Komponente mit k und liegt deshalb auf derselben Geraden wie a: Die Vektoren sind kollinear. Der Betrag wird zu |k|·|a|. Für k > 0 bleibt die Richtung erhalten, für k < 0 kehrt sie sich um, und k = 0 ergibt den Nullvektor.
Probier das: Schieb k von 2 auf −2 und beobachte, wie der Pfeil durch den Ursprung umklappt, während seine Länge gleich bleibt.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist eine Zahl: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Bei einem spitzen Winkel ist es positiv, bei einem rechten Winkel null und bei einem stumpfen negativ; a·b = 0 bedeutet also, dass die Vektoren senkrecht stehen. Die Projektion von b auf die Richtung von a hat die Länge a·b / |a|.
Probier das: Stelle a = (4; 1) ein und suche ein b mit a·b = 0. Findest du (−1; 4)? Tipp vorher immer das Vorzeichen.
Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt a × b ist ein Vektor, der auf a und auf b senkrecht steht. Seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel, und sein Betrag |a × b| = |a|·|b|·sin φ ist der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Für parallele Vektoren ist es null; vertauscht man die Faktoren, kehrt es sich um: b × a = −(a × b).
Probier das: Stelle a = (3; 0; 0) und b = (0; 2; 0) ein: a × b zeigt entlang der z-Achse und hat den Betrag 6, genau wie das Rechteck 3 × 2. Kipp dann b in Richtung a und sieh zu, wie die Fläche schrumpft.
Spatprodukt
Das Spatprodukt (a × b)·c ist eine Zahl, die gleich der Determinante aus den Komponenten von a, b und c ist. Sein Betrag ist das Volumen des Spats, den die drei Vektoren aufspannen. Ist es null, ist der Spat flach: Alle drei Vektoren liegen in einer Ebene (sie sind komplanar).
Probier das: Stelle c = a − b ein, für die Start-Vektoren also c = (3; −1; −1): Das Volumen fällt auf null. Erhöhe dann c₃ und sieh zu, wie sich der Körper aufbläht.
Häufige Fragen
Was ist Vektoren?
Vektoren ist eine kostenlose interaktive Simulation aus dem StudyFi Lab. Sie läuft direkt im Browser, ohne Anmeldung und ohne Installation. Addiere, skaliere und multipliziere Vektoren in 2D und 3D
Ist Vektoren kostenlos?
Ja. Vektoren ist komplett kostenlos. Es läuft im Browser auf Computer, Tablet und Handy, und du brauchst kein Konto.
Was kann ich in Vektoren entdecken?
Grundlagen, Vektoraddition, Vielfaches eines Vektors, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt.
Was zeigt das Experiment „Grundlagen“?
Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Man schreibt ihn mit Koordinaten a = (a₁; a₂; a₃) oder mit den Einheitsvektoren der Achsen als a = a₁i + a₂j + a₃k. Den Betrag liefert Pythagoras: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²); der Einheitsvektor â = a / |a| behält die Richtung und hat die Länge 1. Der Vektor von Punkt A nach Punkt B ist die Differenz B − A.
Was zeigt das Experiment „Vektoraddition“?
Vektoren addiert man komponentenweise: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Zeichnerisch setzt man b an die Spitze von a (Dreiecksregel) oder spannt mit beiden ein Parallelogramm auf; die Summe ist seine Diagonale. Die Differenz a − b ist die Summe a + (−b), also der Vektor von der Spitze von b zur Spitze von a.
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