Zhrnutie na Základy Kinematiky a Pohybu

## Úvod Kinematika hmotného bodu je časť mechaniky, ktorá opisuje pohyb telesa pomocou základných veličín: poloha, rýchlosť a zrýchlenie. V tomto materiáli si definujeme pojem hmotný bod, vysvetlíme spôsob popisu polohy pomocou súradníc, zavedieme priemernú a okamžitú rýchlosť, dráhu a vzťahy medzi týmito veličinami. Materiál obsahuje príklady a aplikácie, ktoré vám pomôžu prepojiť teóriu s praxou. ## 1. Hmotný bod ### 1.1 Definícia > Hmotný bod (HB) je model skutočného telesa, ktorý nesie celkovú hmotnosť telesa, pričom rozmery telesa sú zanedbateľné vzhľadom na úlohu, ktorú riešime. Kedy môžeme použiť pojem hmotného bodu: - ak sú rozmery telies zanedbateľné v porovnaní so vzdialenosťami medzi nimi, - ak nás zaujíma len translačný pohyb telies (nie rotácie ani deformácie). ### 1.2 Poloha a trajektória > Poloha HB v okamihu $t$ je bod priestoru $P(t)$, v ktorom sa HB nachádza. Trajektória je krivka parametrizovaná časom: množina všetkých polôh $\gamma = \{P(t)\,|\,t\in I\}$. Poloha v súradniciach v rovine je $P(x,y)$ a v priestore $P(x,y,z)$. Ako matematicky popíšeme polohu: - **Polohový vektor** je vektor $\vec{r}(t)$ od pevne zvoleného počiatku $O$ k bodu $P(t)$. - Súradnice sú komponenty polohového vektora voči zvolenej kartézskej sústave: $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$. Tip pri voľbe súradnicovej sústavy: 1. Zvoľte počiatok $O$ vhodný pre danú úlohu. 2. Zvoľte orientáciu osí (pri pravouhlej kartézskej sústave sú osi navzájom kolmé). ## 2. Posunutie a rýchlosť ### 2.1 Posunutie > Posunutie medzi dvomi polohami $\vec{r}_1$ a $\vec{r}_2$ je vektor $$\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1.$$ Dôležitá vlastnosť: posunutie nezávisí od voľby súradnicovej sústavy. ### 2.2 Priemerná rýchlosť > Priemerná rýchlosť medzi časmi $t_1$ a $t_2$ je vektor $$\langle\vec{v}\rangle:=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{t_2-t_1}.$$ Interpretácia: priemerná zmena polohy za jednotku času. ### 2.3 Okamžitá rýchlosť > Okamžitá rýchlosť je derivácia polohového vektora podľa času: $$\vec{v}(t):=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{\vec{r}}(t).$$ Okamžitá rýchlosť sa vzťahuje k trajektórii a vždy leží na dotyčnici k trajektórii v danom bode. ### 2.4 Dráha a priemerná dráhová rýchlosť > Dráha $s$ medzi časmi $t_1$ a $t_2$ je dĺžka trajektórie a počíta sa ako časový integrál veľkosti rýchlosti: $$s=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt,$$ kde $v(t)=\|\vec{v}(t)\|$. > Priemerná dráhová rýchlosť je $$\langle v\rangle=\frac{s}{t_2-t_1}.$$ Poznámka: priemerná rýchlosť $\langle\vec{v}\rangle$ je vektor (posunutie delené časom), zatiaľ čo priemerná dráhová rýchlosť $\langle v\rangle$ je skalár (celková prejdená dráha delená časom). ## 3. Vzťahy medzi veličinami a integrácie ### 3.1 Poloha z rýchlosti Ak poznáme $\vec{v}(t)$ a počiatočnú polohu $\vec{r}(t_0)$, polohu v čase $t$ získame integrováním: $$\vec{r}(t)=\vec{r}(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.$$ ### 3.2 Krátky prehľad derivácií a integrálov - Derivácia polohy: $\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$. - Ak je známe zrýchlenie $\vec{a}(t)$, potom $$\vec{v}(t)=\vec{v}(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec{a}(t')\,dt'$$ a následne polohu z rýchlosti ako vyššie. ## 4. Porovnanie súvisiacich pojmov | Pojem | Typ veličiny | Vzťah | Dôležité poznámky | |---|---:|---|---| | Polohový vektor $\vec{r}(t)$ | vektor | definuje polohu | komponenty $x(t),y(t),z(t)$ | | Posunutie $\Delta\vec{r}$ | vektor | $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ | nezávislé od sústavy | | Priemerná rýchlosť $\langle\vec{v}\rangle$ | vektor | $\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ | smer od $\vec{r}_1$ k $\vec{r}_2$ | | Okamžitá rýchlosť $\vec{v}(t)$ | vektor | $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ | tangenciálna k trajektórii | | Dráha $s$ | skalár | $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ | nezávisí od smeru trajektórie | | Priemerná dráhová rýchlosť $\langle v\rangle$ | skalár | $\dfrac{s}{t_2-t_1}$ | vždy nezáporná | ## 5. Praktické príklady 1. Priama pohybová úloha (1D): - Nech $x(t)=3t^2-2t+1$ (v metriách, $t$ v sekundách). Potom $$v(t)=\frac{dx}{dt}