Zhrnutie na Základy fyziky: Mechanika a Termodynamika

## Úvod Tento materiál pokrýva základné pojmy mechaniky vhodné pre študentov vysokej školy. Zameriava sa na kinematiku, dynamiku hmotného bodu, energiu a pohyb tuhého telesa. Každá časť rozkladá komplexné vzťahy na menšie kroky, obsahuje definície, praktické príklady a užitočné poznámky. ## 1. Kinematika hmotného bodu ### Poloha, posunutie a dráha > **Definícia:** Poloha hmotného bodu je vektorová veličina opisujúca jeho súradnice v zvolenom súradnicovom systéme. Posunutie je rozdiel dvoch polôh a dráha je dĺžka trajektórie. - Poloha: $\mathbf{r}(t)$ - Posunutie (displacement): $\Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)$ - Dráha: $s = \int_{t_1}^{t_2} \left|\mathbf{v}(t)\right|\,dt$ Príklad: Ak sa bod pohybuje po kružnici polomeru $R$, jeho dráha za uhol $\varphi$ je $s = R\varphi$. ### Rýchlosť a zrýchlenie > **Definícia:** Rýchlosť je prvá časová derivácia polohového vektora. Zrýchlenie je prvá derivácia rýchlosti (druhá derivácia polohy). - Okamžitá rýchlosť: $\mathbf{v}(t) = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$ - Priemerná rýchlosť: $\dfrac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}$ - Zrýchlenie: $\mathbf{a}(t) = \dfrac{d\mathbf{v}}{dt} = \dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$ Podotázka: rozdiel medzi okamžitou a priemernou rýchlosťou je v limite $\Delta t\to 0$. Pri krivočiarom pohybe rozlišujeme zložky zrýchlenia: - tangenciálna: $a_t = \dfrac{dv}{dt}$ (mení veľkosť rýchlosti), - normálová (dostredivá): $a_n = \dfrac{v^2}{R}$ (mení smer rýchlosti). ### Pohyb po kružnici > **Definícia:** Uhlová rýchlosť opisuje rýchlosť otáčania bodu okolo stredu. - Vzťah medzi uhlovou a obvodovou rýchlosťou: $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ a veľkosťou $v = \omega\,R$. - Uhlová rýchlosť: $\boldsymbol{\omega} = \dfrac{d\varphi}{dt}$. - Uhlové zrýchlenie: $\boldsymbol{\varepsilon} = \dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = \dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$. - Dostredivé zrýchlenie: $a_n = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R$. Príklad: Auto idúce rýchlosťou $v$ na kruhovom oblúku polomeru $R$ má normálové zrýchlenie $a_n = v^2/R$. Fun fact: Pri konštantnej uhlovej rýchlosti $\omega$ má každý bod tuhého telesa na kruhovej dráhe rýchlosť $v = \omega R$, teda rýchlosť je priamo úmerná vzdialenosti od osi rotácie. ## 2. Dynamika hmotného bodu ### Newtonove zákony pohybu > **Definícia:** Newtonove zákony formulujú vzťah medzi silami pôsobiacimi na teleso a jeho pohybom. 1. Zákon zotrvačnosti: V inerciálnej sústave telo zachováva stav pokoja alebo rovnomerného priamočiarého pohybu, pokiaľ nepôsobia vonkajšie sily. 2. Druhý zákon (všeobecný tvar): $\mathbf{F} = \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}$, kde $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$. 3. Zákon akcie a reakcie: Ak teleso 1 pôsobí na teleso 2 silou $\mathbf{F}_{12}$, telo 2 pôsobí na teleso 1 silou $\mathbf{F}_{21} = -\mathbf{F}_{12}$. - Pri konštantnej hmotnosti: $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$. Praktické použitie: Výpočet výslednice síl pri dynamickom pohybe, návrh brzdného systému, simulácie pohybu v inžinierstve. ### Hybnosť a impulz sily > **Definícia:** Hybnosť $\mathbf{p}$ je $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$. Impulz sily je zmena hybnosti. - Hybnosť: $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$, jednotka SI: kg\,m\,s^{-1}. - Impulz sily: $\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p}$. Príklad: Nárazová analýza pri dopravnej nehode využíva impulz sily na hodnotenie zmeny hybnosti a potrebných deformačných zón. ## 3. Práca, výkon a energia ### Práca a výkon > **Definícia:** Práca sily je krivkový integrál skalárneho súčinu sily a posunutia. Výkon je rýchlosť vykonávania práce. - Práca: $W = \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int F\cos\alpha\,ds$. - Výkon: $P = \dfrac{dW}{dt} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$. Príklad: Elektromotor so stále pôsobiacou silou vykonáva prácu, ktorú vyjadruje okamžitý výkon $P = Fv$. ### Kinetická a potenciálna energia > **Definícia:** Kinetická energia opisuje energiu pohybu, potenciálna energia opisuje energiu polohy v konzervatívnom poli. - Kinetická energia posuvného pohybu: $E_k = \tfrac{