Zhrnutie na Základné rovinné geometrické útvary

## Úvod Geometria rovinných útvarov sa zaoberá tvarmi, ktoré ležia v jednej rovine: kruhy, mnohoúholníky (najmä trojuholníky a štvoruholníky) a ich vlastnosťami. Tento materiál poskytuje prehľad definícií, základných tvrdení, rozdelení a praktických príkladov vhodných pre univerzitný stupeň štúdia. > **Definícia:** Nech je daný bod $S$ a polomer $r$. Množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od bodu $S$ vzdialenosť najviac $r$, sa nazýva **kruh**. ## 1. Kruhy a kružnice ### Základné pojmy - **Stred kruhu**: bod $S$. - **Polomer**: úsečka spájajúca stred $S$ s ľubovoľným bodom na okraji kruhu, dĺžka $r$. - **Priemer**: úsečka prechádzajúca stredom a jej dĺžka je $2r$. - **Kružnica**: množina bodov roviny, ktoré majú od stredu $S$ vzdialenosť presne $r$ (hranica kruhu). > **Definícia (kružnica):** Kružnica so stredom $S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov roviny s distanciou od $S$ rovnou $r$. ### Príklady a aplikácie - V grafickom dizajne a CAD programoch sa kruhy používajú pri zaobľovaní rohov a tvorbe kolies. - V geodézii a navádzacích systémoch sa oblasť dosahu často modeluje ako kruh s daným polomerom. Did you know že v Euklidovej geometrii priemer delí kruh na dve polovice a je najdlhšou úsečkou, ktorá sa dá vložiť do kruhu? ## 2. Mnohouholníky ### Všeobecná definícia > **Definícia (mnohouholník):** Nech je v rovine $\rho$ daných $n$ bodov $A_1, A_2, \dots, A_n$, pričom ľubovoľné tri z nich nie sú kolineárne. Zjednotenie množiny všetkých bodov roviny ohraničených uzavretou lomenou čiarou $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$ vrátane tejto lomenej čiary nazývame **mnohouholník** $A_1A_2\dots A_n$. - Vrcholy: $A_1, A_2, \dots, A_n$. - Strany: $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$. - Uhlopriečky: napr. $A_1A_3, A_1A_4, \dots$ ### Delenie podľa počtu strán | Typ | Počet strán | | --- | --- | | trojuholník | 3 | | štvoruholník | 4 | | päťuholník | 5 | | $n$-uholník | $n$ | ### Delenie podľa tvaru | Kritérium | Možnosti | | --- | --- | | Konvexita | konvexné, nekonvexné | | Pravidelnosť | pravidelné, nepravidelné | Fun fact: Pravidelný mnohoúholník s veľkým $n$ sa veľmi priblíži kruhu a v limite $n o \infty$ dáva vhodnú aproximáciu kruhu. ## 3. Trojuholníky ### Definície > **Definícia (trojuholník):** Nech sú v rovine $\rho$ dané tri rôzne nekolineárne body $A,B,C$. Zjednotenie množiny všetkých bodov ohraničených úsečkami $AB, BC, CA$ vrátane tejto lomenej čiary nazývame trojuholník $\Delta ABC$. - Vrcholy: $A,B,C$. - Strany: $AB, BC, CA$. - Vnútorné uhly: $\angle CAB=\alpha$, $\angle ABC=\beta$, $\angle BCA=\gamma$. ### Základné vlastnosti - Súčet vnútorných uhlov: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$ - Trojuholníková nerovnosť pre dĺžky strán $a,b,c$: $$a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b$$ ### Klasifikácia Tabuľka rozdelenia podľa uhlov a strán: | Podľa uhlov | Podľa strán | | --- | --- | | ostrý (všetky uhly < $90^\circ$) | rovnostranný ($a=b=c$) | | pravouhlý (jeden uhol = $90^\circ$) | rovnoramenný ($a=b$) | | tupý (jeden uhol > $90^\circ$) | všeobecný (rôzne strany) | ### Aplikácie - Staviteľstvo: výpočty nosnosti trojuholníkových výstuh. - Trigonometria: riešenie trojuholníkov v GPS a navigácii. ## 4. Štvoruholníky ### Základné pojmy > **Definícia (štvoruholník):** Nech sú v rovine $\rho$ dané štyri body $A,B,C,D$, pričom žiadne tri z nich nie sú kolineárne. Zjednotenie množiny všetkých bodov ohraničených uzavretou lomenou čiarou $AB,BC,CD,DA$ vrátane tejto lomenej čiary nazývame štvoruholník $ABCD$. - Vrcholy: $A,B,C,D$. - Strany: $AB,BC,CD,DA$. - Uhlopriečky: $AC, BD$. ### Vlastnosti uhlov a uhlopriečok - Možné vzťahy medzi uhlami: všetky uhly zhodné, dvojice oproti sebe zhodné, súčet dvoch priľahlých uhlov $=180^\circ$ atď. - Uhlopriečky môžu: navzájom sa rozpoľovať, byť zhodné, byť na seba kolmé. ### Rozdelenie štvoruholníkov podľa vlastností | Kritérium | Príklady | | --- | --- | | Polohy strán | rôznobežníky, rovnobežníky | | Konvexita | konvexné, nekonvexné | | Dĺžky strán | pravidelné (štvorec), nepr