Zhrnutie na Základné geometrické útvary a ich vlastnosti

## Úvod Geometrické útvary sú tvary, ktoré môžeme vidieť alebo opísať pomocou dĺžok, šírky a výšky. V tomto materiáli sa zoznámime s jednorozmernými, dvojrozmernými a trojrozmernými útvarmi pomocou jasných príkladov a obrázkov v mysli. ### Čo sa naučíme - Čo je jednorozmerný útvar - Vlastnosti obdĺžnika - Čo je kváder a jeho vlastnosti - Ako vyzerá sieť kvádra > Definícia: Jednorozmerný útvar má len jeden rozmer, napríklad úsečka, ktorá má len dĺžku. ## Jednorozmerné útvary Jednorozmerný útvar má len jednu veličinu — dĺžku. Najjednoduchší príklad je **úsečka**. - Príklad: úsečka medzi dvoma bodmi A a B má dĺžku $AB$. - Použitie v praxi: meranie vzdialenosti medzi dvoma bodmi na mape alebo v triede. > Definícia: Úsečka je časť priamky ohraničená dvoma koncovými bodmi. ## Dvojrozmerné útvary: Obdĺžnik Obdĺžnik je základný dvojrozmerný útvar. Má dve rozmery: dĺžku a šírku. ### Vlastnosti obdĺžnika - Protiľahlé strany sú zhodné (majú rovnakú dĺžku). - Každé dve susedné strany sú na seba kolmé (uhol $90^\circ$). - Každé dve protiľahlé strany sú rovnobežné. - Všetky vnútorné uhly majú veľkosť $90^\circ$. - Uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné, nie sú na seba kolmé a navzájom sa rozpoľujú (rozdelia sa na rovnaké úsečky). > Definícia: Obdĺžnik je štvoruholník, ktorý má všetky vnútorné uhly rovné $90^\circ$. ### Označenie - Strany: $a$, $b$ - Vrcholy: $A$, $B$, $C$, $D$ - Uhlopriečky: $u_1$, $u_2$ - Vnútorný uhol: $\alpha$ ### Praktický príklad Ak má obdĺžnik rozmery $a = 4\,\text{cm}$ a $b = 3\,\text{cm}$, potom obvod je $$O = 2\left(a + b\right)$$ Teda $$O = 2\left(4 + 3\right) = 14\,\text{cm}$$ Plocha je $$S = a \cdot b$$ Teda $$S = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2$$ Fun fact: Obdĺžniky vidíme všade okolo seba — dvere, tabuľa alebo okná sú často tvaru obdĺžnika. ## Trojrozmerné útvary: Kváder Kváder je trojrozmerný útvar s tromi rozmermi: dĺžka, šírka a výška. ### Vlastnosti kvádra - Má tri páry rovnobežných a zhodných stien (často obdĺžnikových). - Obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky. - Každé dve susedné hrany sú na seba kolmé. - Každé dve protiľahlé hrany sú rovnobežné. - Každé dve susedné steny sú na seba kolmé. - Všetky vnútorné uhly pri vrchole majú veľkosť $90^\circ$. > Definícia: Kváder je priestorový útvar, ktorého všetky steny sú obdĺžniky (alebo pravouhlé rovnobežníky). ### Označenie - Vrcholy: $A,B,C,D,E,F,G,H$ - Hrany: $a,b,c$ (tri rôzne dĺžky) - Steny: $S_1,S_2,S_3$ - Stenová uhlopriečka: spája protiľahlé vrcholy jednej steny - Telesová uhlopriečka: spája protiľahlé vrcholy kvádra, ktoré neležia na jednej stene ### Vlastnosti uhlopriečok - Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok (jedna pre každú stenu). - Všetky telesové uhlopriečky kvádra sú zhodné. - Označenie: telesová uhlopriečka $u$, stenová uhlopriečka $u_s$. ### Objem a povrch Ak sú hrany kvádra $a$, $b$, $c$, potom $$V = a \cdot b \cdot c$$ Povrch kvádra je $$S = 2\left(ab + ac + bc\right)$$ Príklad: ak $a = 2\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$, $c = 4\,\text{cm}$, potom $$V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^3$$ $$S = 2\left(2\cdot3 + 2\cdot4 + 3\cdot4\right) = 2\left(6 + 8 + 12\right) = 52\,\text{cm}^2$$ Did you know that all space around us obsahuje množstvo kvádrov v tvare krabíc a budov? (Tu je fakt napísaný priamo po prefixe.) ## Sieť kvádra Sieť kvádra je rozloženie všetkých šiestich stien kvádra do roviny tak, aby sa dali poskladať späť na kváder. Predstav si skladačku z papiera, ktorá sa zloží do krabice. - Sieť obsahuje tri páry zhodných obdĺžnikov. - Pomáha pri predstavovaní si stien a pri počítaní povrchu. > Definícia: Sieť kvádra je dvojrozmerné rozloženie stien kvádra, ktoré sa dajú zložiť do trojrozmerného tvaru. ### Praktické použitie - Pri balení darčekov a tvorbe papierových krabíc - Pri výpočte povrchu kvádra ## Porovnanie: Obdĺžnik vs. Kváder | Vlastnosť | Obdĺžnik | Kváder | |---|---:|---:| | Rozmery | 2 (dĺžka, šírka) | 3 (dĺžka, šírka, výška) | | Typ útvaru | Dvojrozmerný | Trojrozmerný | | Steny/hrani